Formule des accroissements finis. — La formule

J f{x)dT = {b--a)f{c),

où c est un nombre compris entre a et 6, est identique à la formule qu'on appelle ybrmw/e des accroissements finis. Soit, en effet, %>{x) une fonction ayant pour dérivée /(a?) :

o\x)=f{x)l'intégrale définie est égale à o(^) — 'f(«) et la formule peut

s'écrire

ce qui est précisément la formule des accroissements finis (n*^ o).

40. Intégration par parties. — Soient u et t' deux fonctions de X ; considérons une intégrale définie de la forme

f {u dv -h V du).

Une des valeurs de l'intégrale indéfinie étant uv.^ l'intégrale définie est

{uv)b— {uv)a,

OÙ les indices 6 et a signifient qu'il faut successivement remplacer x par b et par a. On peut donc écrire

I u di' -i- I V du = {uv)i, — {uv)a

ou.^ en transposant,

I Udv =^ {uv)b—iuV)a— j P

du.

Jl=:n

Telle est, pour une intégrale définie, la formule d'intégration par parties.

Notation. — Pour désigner la différence des valeurs que prend une fonction de x, F(j;), pour x= b el x =^a^ on emploie habituellement la notation

de sorte qu'on a, par définition,

\F(x)\'^=Fib)-F(a).

Par exemple, dans la formule précédente,

(uv)i,— (ui>)a-=\ui>\'^,

et cette formule peut s'écrire

/ U dv = \ uv 1^ — / V du

JC — a ' Ot. = (i

Exemples. — I. Soit à calculer l'intégrale délinle

(l) î,, = / COS2«a7 dx^

OÙ n est un entier positif ou nul. Remarquons d'abord que T, puis écrivons, en supposant n positif,

et intégrons par parties. Nous aurons, en posant ;/=cos-" ^x et r =: sin^r.

I„ = I cos2«-ia7 sina? I -h (2n — i) / gos'^"^~''^.t s'in^x dx.

La partie intégrée est nulle; en remplaçant, dans l'intégrale du second membre, sin-^ par i — cos^^r, on voit qu'elle est égale à I„, — I„. On a donc

\n= {'in—ï) {In-l— In), in= ,^ ^^ hi-i-

En donnant à 7i les valeurs successives i, 2, ..., n, on a

d'où, en multipliant membre à membre et faisant 1,, = -,

__ \ .3.'). . J in ~ }) Tz ^■''^ ^"^ 2. 4. G... 2,1 V

L'intégrale

/ s\n-"^xdx

est aussi égale à I„, comme on le voit en faisant le changement de variable x = — — u.

IL Soit à calculer

J„= / cos^"-^^xdx = I s'in^^-^^xdx

(/2 entier positif ou nul). On a d'abord Ji,= i. La même métkode d'intégration par parties donne ensuite

(4) J,t= •î/i(J„i— J,i), hi~ " . J/t -1, J« —

ii/i-Hi 3. 5. 7... (-2/^1 -t- I)

III. Soit A une quantité positive, calculons les deux intégrales

où la limite supérieure est l'infini positif. Nous reviendrons plus tard en détail sur les intégrales dont une limite est infinie. Nous admettrons que les règles précédentes s'appliquent ici. En jiosant

Il = e"^'*^", p = — cosa;, i> du = Xe~^'^' ces a? dx,

on peut écrire

A — / u dv — ( av)^ — {it-v)^ — / V du.

Or, (t^v^)^ zziz o, car e~" = o, et (</(')(, = — i; on a ainsi la

relation

A = i — )vB.

En posant ensuite, dans la deuxième intégrale,

u — e—^- '", ç^ — si 11 a", V du = — Xe~^*" sin x dx,

et remarquant que maintenant (u^)^ = o et (^uç)qz= o, on a