Changement de variable. — Soit] une intégrale définie

(0 f f{x)dx.

Supposons qu'on exprime x en fonction continue d'une

variable t

de telle façon que, t variant de a à jS, :r varie de « à 6, sans passer par Finlini ni par aucune valeur pour laquelle /(j?) cesse d'exister. Nous allons démontrer que l'intégrale proposée est égale à la suivante :

obtenue en remplaçant, sous le signe d'intégration, x par ^(^), dx par la différentielle ^'{t)dt de ^(^), et en mettant les nouvelles limites a et [3.

Pour démontrer cette règle, nous ferons d'abord deux hypothèses restrictives que nous ferons disparaître ensuite. Supposons : 1*^ que, t variant de a à j^, la dérivée à' (t) ait un signe constant de telle façon que

varie toujours dans le même sens de a à b] 2*^ que la fonction

conserve également un signe constant quand t varie de a à [t. Intercalons, entre a et p, /i — i valeurs de ^,

rangées par ordre de grandeur de a à ^; à ces valeurs, la formule X = 'h{t) fait correspondre n — i valeurs de x^

rangées, de même, par ordre de grandeur de a d b.

La première intégrale (i) est, par définition, la limite de la somme d'infiniment petits tous de même signe

(.r,— a)f{a)'i-(Xi — Xi)f(xi) -+-...-+- (b — x,,-i)f(xn^i): ]n deuxième intégrale (2) est, de même, la limite de la somme

D'après le deuxième théorème fondamental (n" 10), pour

démontrer que ces deux sommes ont la même limite, il suffit de montrer que le rapport d'un terme de la première somme au terme correspondant de la deuxième a pour limite l'unité. Or, un terme de la première somme est de la forme

et le terme correspondant de la deuxième

Ax étant l'accroissement de x correspondant à Faccroissement \t de t. Le rapport de ces deux termes peut s'écrire

'Vin'

comme x = ^{t)^ ce rapport tend évidemment vers i, quand \t tend vers zéro, puisque — tend vers la dérivée '^1^^)-

La règle est donc démontrée.

Nous avons fait deux hypothèses restrictives. Pour les faire disparaître, supposons d'abord que, /['^(^)J restant de même signe quand t varie de a à p, '^'{t) n'ait pas un signe constant, ou, ce qui revient au même, supposons que x =:^ à{t) ne varie pas toujours dans le même sens.

Admettons, par exemple, que, t croissant de a à y, x croisse de a à c, puis que, t continuant à croître de y à p, x décroisse de c à b. La formule s'applique alors séparément à chacun de ces intervalles : on a

lit

J f{x)dx=£ f\^{t)]'y{t)

en ajoutant, et appliquant le théorème sur le fractionnement de l'intervalle d'intégration, on a

/ f{x)dx= / f[^h{tM{t)dt.

On lèvera, de même, la deuxième restriction en divisant l'i Ucr-

valle (a, [i) en intervalles dans lesquels /[ ^i> (^)] conserve un signe constant.

42. Applications. — i" Aire d' une demi-ellipse. — L'équation de l'ellipse étant

l'arc supérieur ABA' est représenté par l'équation {fig. 23)

Fig. 23.

obtenue en résolvant par rapport i\ y et prenant la racine positive. L'aire de la demi-ellipse est alors

.jy^.

~^ dx,

X variant de — a (point A) à -[-a (point AV On a donc, en

faisant sortir le facteur constant — du sierne d'intéjiration,

'2 dx.

Faisons le changement de variable