X -=^^(1) ~ a cost

t variant de tz à o, x varie de — a k -\-a. Alors

/a- — :r-=asin^, dx = — asintdt^

A= / a'^ sin"^ t dt = ab 1 sin'^ tdt,

en se rappelant qu'on peut intervertir les limites d'intégration, à condition de changer le signe de l'intégrale.

Comme on a

on peut écrire

'^ f dt co?,it(lt

tJne des valeurs de l'intégrale indéfinie est

et l'intégrale définie est la différence des valeurs de l'intégrale indéfinie pour ^ = ti et ^ = o, c'est-à-dire -• Donc

Tzdb

1^ Aire de la cycloïde. — La cycloïde est la courbe engendrée par un point d'une circonférence qui roule, sans glisser, sur une droite fixe. Soit une circonférence de rayon a roulant sans glisser

Fi g. 2'i.

sur un axe fixe 0:r et soit M le point de la circonférence qui décrit la courbe ; la circonférence roulant sur la droite, prenons comme origine le point O où le point M a touché l'axe dans le roulement. Joignons le centre G du cercle au point de contact I et au point M, et appelons u l'angle IGM dont le cercle a tourné depuis l'instant où M était en O. A cause du roulement, la longueur 01 est égale à l'arc IM, c'est-à-dire à au. L'abscisse de M est 01 — IP, P étant la projection de M sur OX :

X = a(u — sinM); l'ordonnée est CI — CQ, Q étant la projection de M sur IB :

y — a{l — cos w).

Pour avoir la cjcloïde complète, d'un point de rebroussement O à l'autre O", il faut faire varier :r de o à ^T^a ou m de o à 2Tr. Donc l'aire totale est

Changeons de variable en introduisant la variable u\ on a , dx =^ a{\ — cos u) du

et les nouvelles limites sont o et 271 : '

(i — cos> II)- du.

Développant le carré et remplaçant cos^ m par llH-l^lii-^, on a

r ^ /3 cosiuX , A = rt' / ( 2 cos u H au.

Jo. V^ '^ I

L'intégrale indéfinie est

3 , i\v\iu

la différence des valeurs qu'elle prend pour a = 21: et w = o

est Stt. Donc

A = DTTcr^i

l'aire eàt égale à trois fois l'aire du cercle générateur.

43. Aire d'une courbe fermée. — Supposons d'abord ^fig- 26) que la courbe ne soit rencontrée qu'en deux points M, et M2 par une parallèle à O/, et appelons y y, et y.^ les ordonnées de ces points en supposant ya^. Km menons à la courbe les tangentes parallèles à O/, AA' et BB', d'abscisses a et h. Les ordonnées r» etyo sont des fonctions de x. Si l'on fait croître OP = j:* de dx^ on obtient une ordonnée infiniment voisine QN,No. 11 résulte du théorème fondamental (n" 11) que l'aire de la bande infinitésimale M, M2N2N, est équivalente à l'aire du rectangle inscrit de hauteur M, IVI2 et de base dx. Or, dans tous les cas de figure possibles (J, II, III), la hauteur M, AL a pour valeur absolue y •, — >-, qui est positif. L'aire du rectangle est (j-^ — y\) dx et l'aire cherchée A

est

A=r {yi—y\)dx=j y^,dx— j y,dx.

//ri J

A'/ÎP A A'P' B'