I II
En remarquant que
^ U pli
on peut écrire encore
A = / y.dx^ j y^d.
Cette expression s'interprète d'une manière simple : on dit qu'elle est égale à l'intégrale
' j y dx
prise sur le contour de l'aire G dans le sens de la tlèche. En effet, imaginons un point mobile parcourant le contour dans le sens indiqué et multiplions son ordonnée par la projection dx de son déplacement infiniment petit; quand ce point décrit l'arc supérieur AMoB, la somme des produits ainsi obtenus est
dx.
et, quand il revient de B en A sur l'arc inférieur BM, A, elle est
yidx;
la somme totale est donc bien A.
Pour faire le calcul effectif, supposons qu'on ait exprimé les
7^ CHAPITRE m.
coordonnées x cl y d'un point quelconque M de la courbe en fonction d'une variable auxiliaire t, de telle façon que, t variant de a à j3, le point M décrive la courbe une fois et une seule fois dans le sens de la flèche; soient
ces expressions. L'aire de la courbe est alors, en faisant le changement de variable exprimé par ces relations,
Quand une intégrale / y dx est ainsi prise le long d'une courbe C, on convient de la désigner par la notation
y dx.
Si la courbe fermée a une forme plus compliquée {fig- 26), sans points doubles^ l'aire de la courbe est encore égale à Tintéerale .
y dx
prise sur la courbe dans le sens de la flèche. En effet, on pourra toujours, par des lignes transversales, telles que AB, CD, décom-
Fig! 26.
Mj^
Afe:
ce
poser l'aire A en parties Si, S2, S3 dont le contour n'est rencontré qu'en deux points par une parallèle à Oy. On a alors
/ y dx -\- l y dx,
l'indice AM,B signifiant i'int'grale y>rise sur l'arc AM, B et
rindice BA Finlégrale prise sur l'arc BA. De même
Sf = I V dx -r- y dx
DC
/ ydx-r- i
83=/ y dx -{- y dx -+■ y dx -r- j y dx.
•-^RC «^CD '-'Dk *^AB
Ajoutant et remarquant que les intégrales d'indices BA et AB dune part, DC et CD d'autre part, sont égales et de signes a
