AM,R ^BC «-'CM.D '-DA «-^C

Cette formule est générale, pour une courbe sans points doubles dans toutes les positions de la courbe, par rapport aux axes.

Sens positif des rotations dans le plan autour Aq O. - SoitOM un vecteur issu de O : nous dirons qu'il tourne autour de () dans Le sens positifs quand il tourne dans le sens qui amène Ox sur Oy par une rotation d'un angle—-

Sens positif de circulation sur une courbe fermée sans points doubles. — Imaginons un contour fermé sans points doubles. Prenons un point O' dans l'intérieur. Nous dirons qu'un mobile ^Vl décrit ce contour dans le sens positif quand le rajon O'M revient à sa position initiale après une rotation de 27: dans le sens qui amène Ox sur Oy par une rotation - • Les axes Ox et Oy étant disposés comme dans toutes nos figures, ce sens est le sens positif sur le cercle trigonomé trique. Le sens inverse sera appelé négatif. On voit que l'intégrale qui donne l'aire est prise sur le contour dans le sens négatif : c'est ce qu'on peut indiquer en mettant un signe — au-dessus du signe / , ce qui donne

A = I y dx.

Si le mobile tournait en sens contraire (sens positif), la somme

y dx

serait l'aire de la courbe changée de signe.

8o CHAPITRE II [.

Points doubles. — Examinons le cas où la courbe aurait un point double. Dans la position de la première figure (27, I), l'intégrale

y dx

[)rise le long de la courbe, dans le sens de circulation indiqué par

Fig. 27.

ao

les flèches, est égale à la différence des aires des deux boucles. En efTet, cette somme se compose de l'intégrale / ydx^ prise

le long du contour A,M,PMjA, de la première boucle, et de l'intégrale 1 ydx, prise le long du contour PM^AjMoP de la deuxième, et ces deux intégrales sont : l'une, l'aire de la première

Fis. 28.

boucle, et l'autre, Taire de la deuxième prise négativement. Dans la disposition de la deuxième figure (27, II), l'intégrale

y dx

est la somme des deux boucles. On étudierait de même le cas où la courbe présenterait plusieurs points doubles.

FONCTIONS PRIMITIVES. — INTÉGRALES INDEFINIES. 8l

Remarque. — On vérifiera, comme exercice, que rintégrale

y dx

prise le long d'un arc AMB non fermé est égale à l'intégrale / y dx prise le long du contour fermé AMBB'A'A, obtenu en abaissant les perpendiculaires AA' et BB' sur Ox {fig- 28). Gela tient à ce que les valeurs de l'intégrale prises sur les droites AA', BB', A B' sont nulles, puisque dx est nul sur les deux premières et y sur la troisième. L'intégrale s'interprète alors par une aire, d'après ce qui précède.