Exemple. — I. Aire d^ une ellipse. — Soit l'ellipse

(^• — -^o)- ^ (.r — ro^^ ^ j

ayant pour centre un point quelconque {xq., y) et ses axes a et 6

Fig. 29.

parallèles aux axes coordonnées {fi g. 29). On peut exprimer les coordonnées d'un point M de l'ellipse en posant

X = Xq-t- a co?,t^ y — yQ-\- b ?>\nt.

Pour faire décrire au point l'ellipse dans le sens négatif, il suffit de faire décroître ^ de tc à — tt. Gomme

dx — ~ a ^'xnt dt^

l'intégrale / y dx prise sur le contour, dans le sens indiqué, est

(^0 "+" b s'\n t)a s\nt dt .

APPEI.I.. — ST.

Permutons les limites en changeant le signe et remplaçons sin-^

par i\ous avons, pour 1 aire,

r "" ■ , ab r'' j ab r^'

aj'o I sintctt-î / dt — — j cos2

tdt,

La première de ces intégrales est nulle, car l'intégrale indéfinie — cos^ prend la même valeur aux deux limites; il en est de même de la troisième intégrale; quant à la deuxième, elle est égale à la différence des valeurs que prend l'intégrale indéfinie ^ aux limites et — 71, c'est-à-dire à 271. On trouve ainsi, pour l'aire, r^ab.

II. Aire de la boucle du foliinn de Descartes. — Le folium de Descartes a pour équation

x^ ^ yz — 3 (2 xy = o ;

il a la forme indiquée dans la figure (3o), si l'on suppose « > o. Posons

nous aurons

3at

tx .

Le paramètre t est le coefficient angulaire de la droite OM ; pour que le point M parcoure la boucle dans le sens négatif, il faut faire varier ^ de H-oo à o. On a donc pour l'aire A :

Jyd.=J

tx dx =

- f x'-dt.

La partie intégrée est nulle car tx- s'annule pour t = ce et pour ^ = G. On a donc

I r°°ç)a^t^dt

1^'intégrale indéfinie est

; on a donc