AO
Divisant par A9, on a
Quand A6 tend vers zéro, il en est de même de AA et Ar. Le
rapport — ^> étant compris entre - r^ et une quantité qui tend
vers - r-^. tend lui-même vers cette limite et l'on a ,. AA ^A I ,
En intégrant, et remarquant que A est nul pour Q = Qq, on a
- r2 rr8.
Cette dernière formule est aisée à retenir; elle signifie que l'aire A est la somme des secteurs circulaires infiniment petits inscrits, tels que OMH.
46. Différentielle de l'aire d'un secteur en coordonnées cartésiennes. — Appelant x et y les coordonnées du point Mo, on a
:r=:rcos6, jK = /'sinO.
Gomme r est fonction de 8 le long de la courbe, x et >' peuvent être regardés comme fonctions de 9. On a
— = tangO, 0 = arclang-:
d'où, en difTérentiant,
a? dy — y dx
- . x-^-+-y^ Gomme x- -\- y- = r^^ on voit que
r^d^ =^ X dy — y dx
et, par suite,
d\ = - (x dy — y dx ) .
On peut facilement retrouver cette formule en se servant de l'expression de l'aire d'un triangle en fonction des coordonnées des sommets. Soit un triangle OMi M2, dont les sommets M, etMa ont pour coordonnées cartésiennes (x^^yi) et (^25^2) et pour coordonnées polaires r^^ S^ et /o, 9^ ' 1 aire OM^ M2 {/i'^- 32) a pour expression
/'i /'asin (0;
Oi) = -(^iJ-2—ri^-i)-
Cette valeur est positive dans le cas de la figure, c'est-à-dire quand un mobile suivant le côté M, M2 tourne autour de O, de Ox vers O)'. Elle serait négative dans le cas contraire.
Fig. 32.
ce
Si, en particulier, nous prenons un secteur de courbe infiniment petit tel que OMM' {fig. 3i), on peut assimiler ce secteur à un triangle dont les sommets M et M' ont pour coordonnées
Taire dK de ce triangle est donc
dK= - [x{y 4- dy) — jk {x -f- dx)\ = - (x dy — y dx).
47. Applications. — x"" Aire de la lemniscate, — La lemniscate est la courbe qui a pour équation
r^ = rt^cos-î 0,
Cette courbe a la forme indiquée dans la figure 33. Appelant A l'aire du secteur MqOM comptée à partir de l'axe polaire O^, on a
dk = -r^d(i = -a^cos20dQ.
On a donc, en intégrant.
A = 7 «2 sin 2I
car la constante à ajouler ici est nulle ^ l'aire devant s'annuler avec 9. Quand M vient en O, 8 tend vers - et Taire du quart de la
courbe totale est
^'^ Secteur d'hyperbole équilatère. Sinus et cosinus hyperboliques. — Considérons d'abord un cercle {fig- 34. 1)
de rayon i, et appelons A l'aire du secteur OMoM comptée depuis l'axe Ox. On a
<^A = -{xdv — y dx).
On peut exprimer les coordonnées d'un point du cercle en fonction d'un paramètre t en posant
Alors
X — cos/, y = sin t.
dx —— s\n t dt = — y dt, dy — cost dt = x dt, d\ = - {x'^ -\- y'') dt = -dt,
FONCTIONS PRIMITIVES. — INTEGRALES INDEFINIES, bj
car X- -i- j'' = i . Donc en intégrant
sans ajouter de constante, car A s'annule avec t. On a donc enfin
Prenons de même une hyperbole équilatère dont le demi-axe transverse est i {fig'. 34, II)
et appelons A l'aire du secteur MqOM comptée à partir de l'axe transverse. On a
d\ = - (x dy — y dx ) .
On peut exprimer les coordonnées d'un point M de la courbe en fonction d'un paramètre en posant
en effet, on vérifie immédiatement que, quelque soit ^, x- — y- 1=1. Quand t est nul, :r = i, y = o, le point M part de Mo; quand / augmente jusqu'à l'infini, le point M décrit la branche infinie Mo M.
onc
(>t f> — t gt 1 g — t
dx = ■ — dt = y dt, dy = — dt = x dt;
dX= l(x^ — y^)dt= \dt,
car :r- — y'-z=i. Intégrant et remarquant que A s'annule avec ^, on a
Les coordonnées d'un point M de l'hyperbole s'expriment donc, en fonction de l'aire A du secteur hyperbolique, par des formules analogues à celles qui donnent les coordonnées d'un point d'un cercle en fonction de l'aire A du secteur circulaire.
C'est en raison de cette analogie que les fonctions
«'appellent cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique de t; on
les désigne par
coshyp^, sin hypt •ou par
cli^, sh^.
On peut donc écrire
e^ = coshyp/ -+- sin hyp^ = ch^ -+- sli /, e-( z= coshyp^ — sin liyp< — cli / — sht.
On trouvera dans le Recueil de formules numériques de Houël (Gauthier-Villars), xviii, p. 36-55, une Table donnant les logarithmes de ces fonctions pour des valeurs positives données de t.
On vérifiera sans peine les formules
cAi^t — sh^^ = I,
d ch t , cf ^li t ,
— ; — — sh t, — ; — = en t,
dt ' dt
ch ( a -f- 6 ) = ch a ch 6 -t- sh a sh 6,
sh(a-h6) — sli<7 ch6 -4- ch«7 sh 6,
qui achèvent de faire ressortir l'analogie entre ces fonctions et les fonctions circulaires.
3*^ Aire d'une courbe fermée. — Soit une courbe fermée, sans
point double, qui n'est rencontrée qu'en deux points M, et Mo par un rayon vecteur {Jig. 35). Supposons d'abord l'origine hors de la courbe, et menons de O deux tangentes OMq et OM' faisant
avec O^ les angles 60 et 6'. Soient /v, et /'o les deux valeurs OM, et OM2 des rayons vecteurs correspondant à un angle polaire 0. Les aires des secteurs OMoM<M' et OM0M2M' sont respectivement
- / r\d^, i / ri ^9,
et l'aire de la courbe, différence de ces deux secteurs, est
On peut écrire aussi, en intervertissant les limites de la deuxième intégrale,
A=-/ r\d^-\- - rldQ,
formule qu'on peut inlerprétei- 3n disant que l'aire est égale à
l'intégrale •
1 J ,..rfO =. '^^J{x dy-ydx) prise toul le long de la courbe dans le sens positif.
Si le point O est intérieur à la courbe {fig- 36), l'aire est donnée par Pintégrale
car 9 doit varier de o à 27c pour que M décrive la courbe. On peut dire encore que l'aire est donnée par l'intégrale
^ Cr^dQ=^~ f{xdy—ydx) prise le long de la courbe dans le sens positif.
go CHAPITRE III. — FONCTIONS PRIMITIVES. — INTÉGRALES INDEFINIES.
On verrait, comme au n° 4-3, que les mêmes résultats s'appliquent à une-courbe fermée, d'une forme quelconque, sans points doubles. Si la courbe présente un point double [fig'- 27), l'intégrale
^ fr-dO=-.- fixdy—ydx)
prise le long de la courbe représentera, suivant les cas, la différence ou la somme des aires des deux boucles.
Remarque. - L'intégrale I prise le long d'un arc AMB, non fermé, est égale à l'intégrale prise le long du contour fermé OAMBO obtenu en menant les rayons OA et OB, car, sur ces rayons, d^ est nul et les valeurs de Fintégrale sur OA et sur OB sont nulles.
