FORMULE GENERALE

48. Formule générale donnant le volume d'un solide à bases parallèles. — ■ Soit un volume analogue à un tonneau, limité latéralement par une surface quelconque, et aux extrémités, par deux plans parallèles que nous appellerons les plans de base {fig- 3-).

Fig. 37.

Prenons pour plan des yz un plan parallèle aux plans de base, pour axe des x une droite Ox perpendiculaire à ces plans.

Soient Xq et x^ les valeurs de x correspondant aux deux bases ; Kq et A< les points où ces deux bases prolongées rencontrent Oj;.

Coupons le volume par un plan parallèle au plan des yz rencontrant Ox au point A d'abscisse x. Soit S Taire de la section faite par ce plan : cette aire, qu'on peut évaluer par les méthodes précédentes, est évidemment une fonction de ^ :

S = cp(ar).

Le volume V compris entre le plan de base inférieure Sq et la

section S d'abscisse œ est une fonction de x. Nous allons montrer

que la différentielle dV de cette fonction V de ^r est donnée par la

formule

^V = S dx.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que, quand x augmente, S diminue. Faisons croître x de ^x =: AA' et soit

S' — '^{x-i- Ix)

la nouvelle valeur de l'aire de la section. L'accroissement AV du volume est une tranche de hauteur A^. Cet accroissement est compris entre un cylindre de base S ayant pour hauteur àx et un cylindre de base S' ayant pour hauteur àx :

S' ^x < AV < s \x.

En divisant par àx, on a