AV
Ouand ^x tend vers o, — tend vers la dérivée -j- > S' tend ^ ' Ax dx
vers S; la limite -j- est donc égale à S, et l'on a
^ =8. d\ = Sdx.
dx
En intégrant de Xq^ qui donne la base inférieure, kX\^ qui donne la base supérieure, on a le volume total considéré
V= r \dx.
Cette formule est aisée à retenir : elle exprime que le volume V !st la somme des cylindres infiniment petits inscrits S dx.
VOLUME d'un solide A BASES PARALLELES. qS
Remarque. — Pour simplilier le raisonnement, nous avons supposé que la projection de S sur le plan de S' {fig- 3^) entoure complètement S'. Si cette projection était en partie sur S' et en partie en dehors, la forme du raisonnement devrait être un peu modifiée, mais le résultat final serait le même : le volume V, limite de la somme des cylindres inscrits S dx^ est toujours donné par la même formule.
49. Cas particulier où S est fonction du second degré de a?. — Supposons que l'aire S soit une fonction du second degré de x :
a, p, Y désignant des constantes. Cette propriété est indépendante de la position de l'origine. ^ En effet, si Ton prenait une autre origine en conservant la même direction d'axes, les formules de changement de coordonnées donneraient, entre l'ancienne abscisse x d'un point et la nouvelle x' ^ une relation de la forme
Par cette substitution, l'expression S du second degré en x se transforme évidemment en une expression du second degré en x' .
Pour simplifier les calculs, nous supposerons qu'on ait choisi pour plan des yz le plan de la base inférieure; alors Xq^=^o et X{ = A, si h désigne la hauteur du solide (distance des plans des bases). L'aire S étant, par hypothèse, du deuxième degré en x,
on a
S = ax^ -+- bx + c
et
V = / ( ax^ -h bx -h c) clx.
En intégrant, on a immédiatement
\ — a—- ^ b v- cil,
OU, en réduisant au même dénominateui
v(2aA2 4- Zbh^ÇiC).
L'interpl^étation géométrique de cette formule est identique à celle de l'expression qui donne le segment parabolique (n*^ 33). Appelons Sq la base inférieure correspondant à x = o; on a
So = c; S, la base supérieure correspondant i\ x = li^
S„i la section médiane correspondant kx =^ — -,
^,n =a- — ho \- c.
La parenthèse figurant dans l'expression de Y est, comme on le vérifie immédiatement,
Sq-h- Si+ 4S„i ;
on a donc enfin la formule
(1) V=|(So+S,-^4S.,)-
On vérifiera, comme exercice, que cette même formule (i) s'applique lorsque S s'exprime par un polynôme du troisième degré en :r.
Cas particulier oii S est linéaiie en x. — Cette formule établie pour a quelconque, s'applique évidemment quand a est nul c'est-à-dire quand S est du premier degré en^,
Mais alors
So= c, Si == hh 4- c, 'è,n = ^ H c;
S,,i =: -( So-f- Si )
et la formule générale devient
(2) V=^(So-+-S,
VOLUME d'un solide A BASES PARALLELES. gS
50. Exemples. — i*^ Solides élémentaires. — La formule précédente (i) s'applique aux solides élémentaires, tronc de pyramide, tronc de cône, tranche de sphère. En effet, dans un tronc de pyramide ou de cône, les sections faites par des plans parallèles aux bases sont proportionnelles aux carrés de leuirs distances x au sommet. S est donc une fonction du second degré de X.
Il en est de même pour une tranche de sphère à bases parallèles. En effet, si Ton prend encore l'axe Ox perpendiculaire aux bases, l'origine étant au centre de la sphère, l'aire S de la section faite par un plan à une distance x du centre est
OÙ R désigne le rayon de la sphère. Cette expression est du deuxième degré en x.
1^ Tranche elliptique d\tne surface du second ordre. — La même formule s'applique à une tranche de surface du second ordre comprise entre deux plans parallèles, pourvu que cette tranche ait un volume fini, ce qui ne peut arriver que si les plans de base de la tranche coupent la surface suivant des ellipses. C'est ce qu'on pourra vérifier à titre d'exercice.
INous nous bornerons ici à une tranche d'ellipsoïde comprise entre deux plans parallèles à un plan principal. L'ellipsoïde étant rapporté à ses axes a, Z^, c a pour équation
^2 yî 2'
Un plan x = const., parallèle au planj)/0^, le coupe suivant une ellipse dont les axes sont
et dont l'aire
s ^ Tc6'c' = 7t6c ( [
est une fonction du second degré de x. La formule (i ) s'applique
donc à une tranche quelconque limitée par deux plans parallèles X — • oc Q et oc — oc \ ,
Pour avoir Fellipsoïde entier, nous prendrons comme plan de la base supérieure le plan tangent x ^= a : ce plan coupant la surface suivant un point, on a S, = o. Prenons de même comme plan de la base inférieure le plan tangent ^ = — a, alors S© = o. La section médiane est dans le plan àes yz] elle a pour aire
'S„i = Tzbc.
La distance h des plans de base étant ici 2«, on a, pour le volume,
ia 4 /
3° Paraboloïde elliptique. — Considérons, dans un paraboloïde elliptique, des sections elliptiques parallèles à un plan principal. En prenant ce plan pour plan des yz^ on trouve que l'aire S d'une de ces sections est une fonction linéaire de son abscisse x', la formule simplifiée (2) s'applique et l'on a, pour le volume d'une tranche,
V=^(So-4-SO.
II. — VOLUMES DES SOLIDES DE REVOLUTION. CENTRES DE GRAVITÉ DES AIRES PLANES HOMOGÈNES.
ol. Formule. — Les axes étant rectangulaires, soit, dans le plan xOy^ une courbe C ayant pour équation {fig. 38)
Cette courbe est considérée comme la méridienne d'une surface de révolution autour de Ox. Prenons sur la courbe C un arc AMB ne traversant pas O.r, et abaissons les perpendiculaires AA' et BB' sur l'axe Ox. Quand on fait tourner le trapèze curviligne A'AMBB' autour de Ox^ il engendre un volume limité latéralement par la surface de révolution, à droite et à gauche par deux parallèles de rayons AA' et BIV. Découpons ce volume en tranches infiniment minces par des plans perpendiculaires à l'axe Ox. La section S du solide par un plan perpendiculaire à l'axe, situé à l'abscisse
