MOMENTS D INERTIE. I

p la masse de l'unité de surface. La bande infiniment mince MiN<N2M2 comprise entre deux ordonnées correspondant aux abscisses x et x -{- dx peut être assimilée à un rectangle dont la dimension, parallèle à 0.r, est h = dx. D'après la formule précédente, le moment d'inertie de ce rectangle, par rapport à O^, est

J'i ^t.X2 désignant les ordonnées des points M, et M^. Le moment d'inertie de Taire totale, par rapport à O^, est donc

a el b désignant les abscisses des tangentes verticales AA' et BB', On peut écrire l'intégrale

' yl dx — / y\ dx = / y\ dx -\- i y\ dx,

et l'on voit que la somme des deux dernières intégrales est l'intégrale

J^ y"^ dx (C)

prise sur la courbe limite dans le sens de la flèche {^fig- Sg) (sens négatif). On a donc enfin

''' ^^=fX

y^ dx.

On verra, comme nous l'avons vu pour l'intégrale curviligne donnant l'aire {fig. 26), que la même formule s'applique à une aire plane limitée par une courbe fermée quelconque, sans points doubles.

Pour évaluer pratiquement l'intégrale (6), on exprime les coordonnées x et y d'un point du contour, en fonction d'un paramètre t

de telle façon que, t variant de a à p, le point x^y fasse une fois le tour du contour dans le sens indiqué. On a alors, en prenant t

comme variable,

f^:r-|J t{t)f'{t)dt.

Exemple. — Moment dUnertie de Caire d''une ellipse homo- ^gène par rappo^'t au grand axe. — Si l'on prend le grand axe pour axe Ox {fig. 23), on a pour les coordonnées d'un point de l'ellipse

et il suffît de faire varier t de 27z à o, pour que le point a^, y décrive l'ellipse dans le sens négatif. Donc

L'intégrale définie qui figure dans cette formule est le quadruple de l'intéerrale

= f sin*

t dt

calculée au n^ 40 (exemple I). Donc elle est égale à — et l'on a

M désignant la masse totale de l'ellipse izabo. De môme, par rapport au petit axe, le moment d'inertie de l'ellipse est M —, et par rapport au centre M — - — .