Centre de gravité d'un volume homogène. — Soit un solide

homogène de la forme indiquée au n° 48; en adoptant les nôlations

de ce numéro, appelons S l'aire de la section du solide par un

plan parallèle àyOz, d'abscisse x : l'aire S est une fonction de x.

La tranche infiniment mince, comprise entre les plans d'abscisses

X et X -{- dxj peut être assimilée à un cylindre droit de volume

S<^^ et de masse

dm = p S dx,

p désignant la masse de l'unité de volume.

MOMENTS d'inertie. IO9

Appelons ^ojJKoî^o les coordonnées du centre de gravité de l'aire S supposée homogène; on a d'abord

puis, dans chaque cas particulier, Yq et Zq sont des fonctions de X. Le centre de gravité de la tranche diffère infiniment peu de celui du cylindre homogène Sc/x, lequel diffère infiniment peu du centre de gravité Xq^ y^^ So de la base S. Les coordonnées X, Y, Z du centre de gravité de 'la masse totale M sont alors données par les formules

MX = I xodm, MY = l y^^dni, MZ=jzQdm

ou encore

MX = p fxo S dx, MY = p /jo ^ dx, MZ = p f Zq S dx,

où M = p V, V désignant le volume du solide et Xq= x.

Application : demi-ellipsoïde. — Soit à trouver le centre de gravité de la moitié de l'ellipsoïde

située du côté positif du plan j/ Os. On a ici (n*' 50)

S = Tz^cf I — ^r

Le centre de gravité est évidemment sur Ox. On a

M=-::paèc, MX = p / r.bclx ^\xdx,

60. Moment d'inertie du même solide par rapport auplanyOs. — La tranche cylindrique élémentaire, comprise entre les plans x et X H- dx^ a pour masse dm = pSr/^r. Tous ses éléments sont à la même distance ± x àw plan yOs; le moment d'inertie du solide, par rapport au plan j^ Os, est donc

jji^., z= i x^ dm = p j x^S dx.

Exemple. — Moment cV inertie d'un ellipsoïde par rapport à un plan principal. — Le moment d'inertie de i'ellipsdïde (7) par rapport au planj^O^ est

\^yz

^I ^^^(»-fi)-^'^^'

4 ~ùhcà^ .. «2

en appelant M la masse totale - Tzpabc de l'ellipsoïde.

61. Application à un volume de révolution. — Considérons en particulier le volume homogène engendré par une aire fermée plane {/ig- Sg, I) tournant autour d'un axe O^ situé dans son plan et ne la traversant pas. Si l'on suppose d'abord, comme dans la figure 39, I, que la courbe limite est rencontrée par une ordonnée en deux points M, et jVL, on voit que la section S du solide de révolution par un plan perpendiculaire à 0;r, en un point P, est une couronne comprise entre deux cercles concentriques de rayons 1', et y 2- On a donc

Centre de gravité. — Ce point est sur Ox par raison de symétrie ; son abscisse X est donnée par

MX =r -p / {y\ — y\)xdx = r.p\ j ylx dx -^- j y\x dx\

rp / y'^x

dx.

l'intégrale étant prise sur la courbe limite C, dans le sens de la flèche (sens négatif) (fig- Sg).

Moment d'inertie du même solide par rapport à un plan perpendiculaiie à Caxe (plan yOz). — On a

z=-p I iyl —y\)x'^dx

= 7:p / x^y\ dx -f- / x^y\ rfar = 7:p / x'^y^ dx,

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