MOMENTS D INERTIE. I 1 I
l'intégrale étant encore prise sur le contour, toujours dans le sens négatif.
On verra, comme pour les aires planes {jig- 26), que ces deux formules s'appliquent au volume engendré par une aire limitée par une courbe sans points doubles, pourvu que U axe O x ne la traverse pas.
Appiication à un tore. — Cherchons le moment d'inertie d'un lore par rapport au plan de son équaieur.
Si nous reprenons la figure (4o) du n*' 55, le plan des j'j3, perpendiculaire à Ox en O, est précisément le plan de Féquateur. Les coordonnées d'un point M du cercle générateur sont
^y.= r.plx'^y^-d.v = T.p / R2 sinU(a -+- R cos/)2 R cos^- c^^.
«y Jn
En développant, on voit d'abord que les deux intégrales
/ sin^ ; cos^ //^, / sin
2^ cos'^t dt
sont nulles, car les éléments, dans chacune d'elles, sont deux à deux égaux et de signes conti'aires pour les valeurs t et^-f-Tc. Ensuite
.■2TC ^27r-„, ^271
d'où
/ s\n^ t co^'U dl ^ — dt = — —dt=-;
en désignant par M la masse du tore
M = p.'>.7:2aR2.
62. Moment d'inertie d'un solide de révolution homogène par rapport à son axe. — 1° Moment d^ inertie d'un cylindre de révolution Jiomogène par rapport à son axe. — Soient h la hauteur, R le rajon du cylindre, p la masse de l'unité de volume, p. le moment d'inertie cherché. La masse du cylindre est
M == 7rR2/ip.
Si R croît de <iR, la masse M aiigmenle de
Cette masse t/M forme une couche infiniment mince, comprise entre le cylindre de rayon R et le cylindre de même axe de rayon R H- t/R : tous ses éléments sont à la même distance R de l'axe. L'accroissement d'^ du moment d'inertie est le moment d'inertie de cette couche, c'est-à-dire R2<:/M. Donc
dix^^R^AT.RhpdR).
En intégrant et remarquant que ix s'annule avec R, (8) a=-;ipR*A.
i*' Solide de révolution. — Soit le solide engendré par une aire plane, tournant autour d'un axe Oûf, situé dans son plan et ne la traversant pas. Supposons d'abord, comme dans la figure 89, 1, que les parallèles à Oy ne coupent la courbe qu'en deux points M, et Mo, d'ordonnées y, ety2- Prenons deux ordonnées infiniment voisines, d'abscisses x et x-^dx\ la tranche engendrée par la révolution de l'aire infiniment petite MiN,N2M2 peut être assimilée à la différence de deux cylindres ayant pour axe O^r, pour hauteur dx et pour rayons y^ ^t/,. Le moment d'inertie d]x de cette tranche par rapport k Ox est la difiérence des moments d'inertie des deux cylindres, donnés successivement par la formule ( 8 ) où h =^ d.r et où R prend les deux valeurs j^ et jki '
du. = ^(y2 —y\)doc.
Le moment d'inertie du solide par rapport kOx est la somme des moments d\k des tranches. Donc
l'intégrale étant prise sur la courbe limite (C) dans le sens de la flèche (sens négatif).
Cette formule s'étend, toujours par la même méthode, à une aire
MOMENTS d'inertie. Ii3
plane quelconque ne traversant pas Ox^ et limitée par une courbe sans points doubles.
Exemple. — Moment d'inertie d'un tore par rapport à son axe. — La figure étant faite comme au n** 55, on a, pour les coordonnées d'un point du contour du cercle générateur,
a7 = Rsin^, y = a ^Kcost.
Alors, d'après la formule précédente,
fjL^= ~ / (a -h R cos^)*R cos^
2 Jr.
dt.
Si l'on développe le binôme, les intégrales contenant des puissances impaires de cos^ sont nulles. Il reste
f cos2/ o?^-H 2itpaR* / co%''tdt.
On a donc, d'après les valeurs des intégrales,
cos2«c?^ = 7r, / cos'* t dt = -Ti,
en appelant M la masse totale du tore.
63. Résumé. — En résumé, on a les résultats suivants pour une aire plane limitée par un contour C, sans points doubles : I** Aire
X z= I y dx ;
2^ Ordonnée du centre de gravité de l'aire
3° Moment d'inertie par rapport à Ox, de l'aire supposée de densité p, v
/ r^dx;
APPBLL, — Eléments d'analyse, — st.
Il4 CHAPITRE IV. — VOLUME D UN SOLIDE A BASES PARALLELES.
4** Moment d'inertie par rapport à O^, du volume V de densité p, engendré par Faire tournant autour de Oa?,
les quatre intégrales j y"dx^ où ai =^ i , 2, 3, 4 5 étant prises le long
du contour G dans le sens négatif. Les trois premières formules sont exactes quand l'aire est traversée par l'axe O^ ; la quatrième suppose que l'aire n'est pas traversée par Ox ;
5" Abscisse du centre de gravité du volume V engendré par la rotation de l'aire autour de Ox :
X= ;^ f y^xdx', 6° Moment d'inertie du volume V par rapport au plan y 0;3 :
\i-yz = T^P I ^^y^ dx.
RECTIFICATION DES COURBES. AIRES DES SURFACES DE RÉVOLUTION ET DES SURFACES CONIQUES.
