X PREFACE

Mayer; démonstration de la formule d'Ampère et de Stokes d'abord dans le plan, puis dans l'espace; définition générale d'une intégrale définie (^); intégrales singulières des équations du premier ordre ; trajectoires orthogonales; facteur intégrant; méthode de la variation des constantes pour l'intégration des équations différentielles linéaires de tout ordre avec second membre.

Nous espérons avoir ainsi réalisé un progrès sur les trois éditions précédentes et avoir composé un Ouvrage capable de rendre service aux ingénieurs et aux physiciens, aux élèves des grandes Écoles techniques et aux candidats au certificat de Mathématiques générales.

Paul APPELL.

Paris, le '21 mars 1920.

( ^ ) Le Cliapilre consacré à cette définition générale est le résumé des diverses applications de la notion d'intégrale; l'idée fondamentale développée dans ce (^iiapitre çst due à M. Globa Mikhaïlenko.

INTRODUCTION

1. Fonctions d'une variable. — On appelle quantité variable^ ou simplement variable^ une quantité qui peut prendre à volonté diverses valeurs. On dit qu'une quantité y est fonction d'une variable x^ quand^ x étant donné^ y est déterminé. La variable a:^ qu'on peut donner à volonté s'appelle la variable indépendante.

La Géométrie, la Physique, la Mécanique fournissent de nombreux exemples de fonctions. Ainsi l'aire y d'un cercle est une fonction de son rayon x définie par la relation

la longueur d'une barre de fer est une fonction de sa température; etc.

Fonctions uniformes. — Une fonction

est dite uniforme dans un intervalle (a, b) quand, à chaque valeur de X comprise entre a et 6, correspond une seule valeur de y Ainsi les fonctions

y := x^ -\- i , jK = sina7, y =^ langx sont uniformes dans un intervalle quelconque (a, b).

APPELL. — ST. I

•2 CHAPIÏHE I.

Fonctions non unifoj'mes. — Si, à une valeur donnée de x, dans un intervalle («, è"), répondent deux ou plusieurs valeurs de k, la fonction ^>' n'est pas uniforme. Par exemple, supposons que )' soit lié à X par l'équation

à chaque valeur de x comprise entre — i et -|- i correspondent deux valeurs dey. égales et de sigfies contraires,

Xi = — V i — :r-:

y n'est donc pas une fonction uniforme de x.

De même la fonction

y = arc sïnx

n'est pas uniforme, car, à une valeur donnée de x comprise entre — I et -Hi, répondent, comme on sait, une infinité de valeurs de >': si >', est une de ces valeurs, les autres sont de la forme

2k--i-yi, ("2 A A' étant un entier quelconque.

i;~— jii

2. Représentation graphique. — Pour représenter par une liiiue une fonction

on prend deux axes rectangulaires Ox el Oy ifig- i), on donne à X une valeur et Ton construit le point M ayant pour coordon-

Fig. I.

nées X eX. y par rapport aux deux axes. Quand on fait varier x. y varie suivant une certaine loi et le point représentatif M décrit une ligne qui représente graphiquement la fonction {fig- iV

INTRODLCTION. 3

Fonctions uniformes. — Si la fonction est uniforme dans un certain intervalle «, 6, la ligne correspondante est telle que, sur chaque parallèle à Oj, dans l'intervalle considéré, il se trouve un seul point représentatif M; car à chaque valeur de x. prise dans cet intervalle, ne e<^rrespond qu'une valeur dey.^

Fonctions non uniformes. — Si l'on prend une fonction non uniforme, comme la fonction y définie par

on voit que, sur chaque parallèle à Or correspondant à une abscisse x entre — i et + i, se trouvent deux points M, et Mo de la ligne représentative, ayant respectivement pour ordonnées

yt = — v^' — ^■--

Quand X varie de — i à -|- i , le point M, décrit une ligne AM, B

( //i'. 2 ) ccjnstituée par une demi-circonférence de centre O et de

, ■ Fig. 2.

rayon i située au-dessus de Ox] le point AL décrit l'arc pointillé symétrique du premier par rapport kOx. On peut dire que chacune de ces deux valeurs dey, y^ et jo est une fonction uniforme de X entre — i et -i- i, représentée soit par la demi-circonférence AM, B, soit par AM^B; la circonférence entière est la ligne représentative de la fonction non uniforme y définie par l'équation (i); les deux déterminations y, et y^ de y sont appelées les deux bra/iches de la fonction non uniforme y.

D'une façon générale, une fonction non uniforme )' de x peu} être ainsi décomposée graphiquement en un certain nombre de

branches, définissant séparément des fonctions uniformes dont l'ensemble constitue la fonction jk".