I. — RECTIFICATION DES COURBES
64. Longueur d'un arc de courbe. — Prenons sur une courbe donnée, plane ou gauche, deux points A et B. Par définition, la longueur de l'arc de courbe AB est la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée AM, M2 . . .M„i B inscrite dans l'arc, quand le nombre des côtés de cette ligne augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro {fig. 42).
Nous admettrons que cette limite existe et est indépendante de la loi suivant laquelle on fait tendre les côtés de la ligne brisée vers zéro. Nous admettrons, en outre, que la longueur de l'arc ainsi définie possède, comme un arc de cercle, cette propriété que le rapport de la corde à l'arc tend vers l'unité quand l'arc tend vers zéro. Voici comment on peut alors obtenir facilement la différentielle de l'arc :
Soient
les coordonnées d'un point M de la courbe exprimées en fonction d'un paramètre t. Appelons s l'arc de courbe O^M compté à partir d'une origine fixe O', prise sur la courbe, jusqu'au point M : cet
Il6 CHAPITRE V.
arc est évidemment une fonction de t. Quand on fait croître t de A^, les coordonnées a?, y, z subissent des accroissements A:r, Ay, A^, le point M se déplace de M en M' et l'arc s croît d'un arc MM'
égal à A5. On a alors
corde MM' — ^ Ax^ -+■ Ly% -+- As^, d'où
arc MM' A5 Â7
corde MM'
v/Ax2 H- Aj'S -h A^2
Quand It tend vers zéro, le rapport de Tare à la corde tend
vers 1, comme nous l'admettons; —, — -j -f-y -r- tendent vers les
It \t A^ A/
, , . , ds dx dy dz ,,
dérivées -7-, -7-, -j-, -7-, et 1 on a dt dt dt dt
ch
dt
on en déduit, en chassant le dénominateur, puis multipliant par dt^
ds = \Jdx°^ -H dy^- -\- dz^.
Cette formule est aisée à retenir, car elle exprime que l'arc infiniment petit MM' est équivalent à sa corde.
Voici quelques applications immédiates de ces formules. Nous en donnerons d'autres, notamment la rectification de l'ellipse, quand nous aurons étudié les développements en séries de puissances.
60. Chaînette; — La courbe appelée chaînette est la figure d'équilibre d'un fil homogène pesant suspendu par ses deux extrémités. Elle a pour équation
a ch -
a désignant une longueur. Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe Oy\ elle a la forme indiquée sur la figure 43; l'ordonnée du sommet B est égale à a.
