RECTIFICATION DES COURBES

Calculons l'arc BM = s. Nous prendrons ici l'abscisse comme le paramètre en fonction duquel s'expriment les coordonnées. On a

e "" dx

donc

ds

s/dx^ -+- dy'*- = -\ k-\- \e" — e " / dx.

En développant la quantité sous le radical, on voit qu'elle est le

carré de e^+e ". Donc

ds = l\e~'-h e~^) dx.

, En intégrant et remarquant que 5 doit s'annuler avec l'abscisse x du point M, on a

Il est aisé de construire s : en effet, on vérifie immédiatement la relation

yt — s'^— a',

qui permet de construire s comme côté de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant pour hypoténuse y et pour autre côté a. Voici comment on peut faire cette construction : menons la tangente en M, l'ordonnée MP, et abaissons la perpendiculaire PC sur la tangente : nous allons montrer que

PG = a,

MC = s.

I l8 CHAPITRE V.

En efFet, l'angle o- que fait la tangente en M avec Ox est tel que

^ dx i^

donc, d'après la valeur de 5,

s tangd = -

On en conclut, comme a^ -{- s'^ ^=^ y- ^

sina = — ) cosa = - •

Gomme, dans le triangle MPC, l'angle en P est égal à a-, on a

MG = j^ sina = 5, PG=j'Cosa = a. Remarque. — Si l'on appelle A l'aire du segment OBMP, on a

dk=Ydx= -W-^e"^)dx;

d'où, en intégrant et remarquant que A s'annule avec a?,

K=—\e~'—e~'")=as.

L'aire A est donc le double de l'aire du triangle MPC.

66. Cycloïde. — Calculons l'arc O M delà cjcloïde {^fig. 24)» En appelant u l'angle dont le cercle a tourné (n*^ 42), on a pour les coordonnées du point M

X =^ a{u — sinw), y =z a{i — cosm),

a désignant le rayon du cercle roulant. On en conclut

dx = a{i — cos u) du, dy = asinudu.

Le coefficient angulaire de la tangente est donc

dy sinw u

-r- = =cot-.

dx I — cos u 1

Cette formule montre que la tangente coïncide avec la droite MB