RECTIFICATION DES COURBES. II

joignant M au point B diamétralement opposé au point de contact. En effet, cette droite MB fait avec BI un angle moitié de IGM,

c'est-à-dire égal à - : elle fait donc avec O^ l'angle - — - et son

coefficient angulaire est bien cot - On a

d$ = </dx^ -h dy^ = a /(i — ces w )' -4- sin^ u du. Développant et remplaçant i — cos m parasin^— , on trouve

d'où, en intégrant,

ds — ia sin — du;

s = — 4 a ces h C.

L'arc, étant compté à partir de O, doit s'annuler pour m =zz o; donc G = 4<^ et

5 = arc OM = 4ût ( i — cos - j •

En particulier, l'arc 00', terminé au point le plus haut O' de la cjcloïde, correspond à w = tt. Donc

arc 00'= 4 «.

Remarque. — L^arc O'M est égal au double de la tangente MB. En effet,

arc O'M = arcOO'— arcOM = 4ût ces — >

et le triangle rectangle IMB, dans lequel l'angle en B est -> donne

MB = la cos- :

ce qui démontre la proposition.

67. Parabole. — Soit une parabole rapportée à son axe Oy et à la tangente au sommet Ox {fig- 44) •

On

dy = — dx, ds = \/dx^ -h dy^

dx.

et, en intégrant,

= arcOM = 1 i/ i -h ^ dx = - T\/p^ -h x^ dx.

Fig. 44.

Appliquons la formule d'intégration par parties \ udv — uv — \ V du^

en faisant

Nous avons ps

= / v//> * -h ic2 dx = X \/p^ -+- x^ — /

La dernière intégrale peut s'écrire, en remplaçant au numérateur x^ par p^-\-x- — /?-,

/, dx= I s/p'^ H- x^- dx— I f^

OU encore

DS — p^L{x-i- \/p^-h X^)-{- C.

On a donc

ps = X v//?2 f- 072 ^^ , ^2 L (-2" -f- y/^2 ^ j;2 ) G

ou, en résolvant par rapport à 5 et remarquant que la constante G est égale à p^Lyo, car s s'annule avec x,