RECTIFICATION DES COURBES

68. Rectification d'une courbe gauche. — Soit, par exemple, la courbe gauche définie par les équations

Cherchons l'arc s de cette courbe à partir de l'origine. On a

Donc

ds — s/dx""- -I- dy"^ -\- dz^\ dy ^=^ IX dx^ dz = -ix^ dx^

ds = / 1 -4- 4 a;^ -4- 4 rr* dx =^ (i-\- ix^) dx et, en intégrant,

sans ajouter de constante, car on suppose que, pour x = o^ 5= o. On a donc

69. Différentielle d'un arc de courbe plane en coordonnées polaires. — Considérons une courbe plane rapportée à un système de coordonnées polaires r et 0, OM = r^ x OM = 0 ( fig. 45).

Fig. 45.

Les coordonnées rectangulaires x eiy d'un point M sont données

par les formules

x = rcos^, y = rsin6.

Le long de la courbe, x^y^ r, 8 sont fonctions d'un même paramètre et l'on a

dx = cos^ dr — rsin6<af0,

dy •= sin 6 rfr -h r ces 6 û?9 ;

donc

ds = ^dx^ -h dy"^ = s/ dr^ -^ r^ d^^ .

On peut retrouver rapidement cette formule de la façon suivante : soit M' un point. infiniment voisin de M ayant pour coordonnées r -{- dr et 9-|-(i9. Si l'on décrit de O comme centre un arc de cercle MP de rayon r, on a

PM'=rfr, arcPM = rrf8, arc MM' = rf*.

Gomnje un arc infiniment petit est équivalent à sa corde, le triangle infinitésimal MPM', rectangle en P, donne

MPiT'^ = M^' -+-PM^ ds^ = dr^ -h r» û?62.

70. Exemple. — Caidioïde. — Soient un cercle de diamètre a, O un point de la circonférence. Prolongeons chaque rayon vecteur OP du cercle d'une longueur constante égale au diamètre du

cercle {fig. 46)

PM = a.

Le lieu de M est une courbe appelée cardioïde. En prenant le

diamètre OA comme axe polaire, l'équation de la courbe e»st

/' = a(i -h cos6).

Alors

ds=^ a /sin26 + (i hcos6)« rfÔ,

ds =^ a^i{i -+- cos8) «5^6 = 2« cos-c?0.

AIRE d'une zone.

L'arc AM = <? qui s'annule avec 6 est donc

s •= ^a sin -

La longueur de l'arc AMO, correspondant à 9 = u, est arcAMO = 4a.

AIRE D'UNE PORTION DE SURFACE DE REVOLUTION COMPRISE ENTRE DEUX PARALLÈLES.

71. Formule générale. — Prenons comme axe des x l'axe de la surface de révolution. Le plan des xy coupe la surface suivant une courbe appelée méridienne de la surface. Prenons sur cette méridienne un arc continu AB situé du côté àes y positifs; nous nous proposons de calculer l'aire engendrée par la révolution de AB autour de Ox : cette aire est limitée par les deux parallèles

Fig. 4?-

AA' et BB' décrits par les points A et B. Nous avons représenté sur la figure 47 le quart de l'aire, quart situé dans le dièdre formé par les plans ^O^ et yOx.

Inscrivons dans l'arc AB une ligne polygonale AM, Ma . .Mn^ B : quand la ligne AB tourne autour de O^, la ligne polygonale engendre une aire composée de la somme des surfaces latérales de n troncs de cône. L'aire engendrée par l'arc AB est, par définition, la limite vers laquelle tend l'aire engendrée par la ligne polygonale inscrite quand le nombre n de ses côtés augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro.

Soient M et M' deux sommets consécutifs de la ligne polygonale ayant pour ordonnées y = MP, y -j- Ay = M'P'. L'aire engendrée

par la droite MM' est égale à MM' multipliée par la demi-somme des circonférences des bases du tronc :

MM'

L'aire cherchée A est la limite de la somme des quantités analogues évaluées successivement pour tous les côtés de la ligne polygonale :

(t) . \ = Um^2Tz(jr-^-^\uM',

le signe 2 indiquant qu'il faut faire la somme des quantités qui le suivent.

Soit ÙlS la longueur de l'arc MM'. Considérons la somme

(2) E2TCJKAS

étendue aux différents arcs sous-tendus par les côtés de la ligne polygonale. Nous allons montrer que cette nouvelle somme (2) a même limite que la première (i) quand les côtés de la ligne polygonale tendent vers zéro.

En effet, dans la somme (i), tous les éléments ont le même signe; le rapport d'un élément de la somme (i) à l'élément correspondant de la somme (2)

•^■^2 MM'

MM'

tend vers i , car Aj tend vers zéro et ^-— est le rapport d'une

corde à l'arc sous-tendu. Donc, d'après le théorème fondamental sur les sommes d'infiniment petits (n*^ 10), les sommes (i) et (2) ont même limite et l'on a

A = limS-^T:^ A.ç.

Cette dernière limite est l'intégrale / 2Tzyds prise le long de Tare AB : on a donc, en faisant sortir 27r du signe d'intégration,

= 2 71 / y ds.

lAB)

Cette dernière formule est aisée à retenir : elle exprime que