Aire d'une zone de paraboloïde de révolution. — Soit
r^ — 2pT = o
l'équation d'une parabole dans le plan desxy, ayant pour axe O^. En faisant tourner l'arc AB de cette parabole autour de Ox^ on engendre une zone de paraboloïde de révolution AA'B'B. Prenons ici y comme variable indépendante. Nous aurons
dx = ^dy, ds = \/dx^ -h dy^ = i/ \^^dy.
x\.ppelant j^'o et j^i les ordonnées des points A et B, on a
k = 2TZ I y ds — 1TZ l yK/ ^^—dy.
(AB) «^jo
En écrivant
nous voyons que l'intégrale indéfinie est - (yo^-hjK^)^ \ on a donc 73. Aire d'un ellipsoïde de révolution allongé. — Soit
léquation de Tellipse méridienne OBA dont nous figurons le quart : le grand axe OA = a de cette ellipse est dirigé suivant l'axe de révolution Ox. Nous pouvons exprimer les coordonnées d'un point M de Tellipse en posant (Jig. 48)
X = a cos u, y = b s'inu,
Fig. 48.
et. pour que le point M décrive Tare AB. il faut faire varier u
de o à -• On a
ds = y^dx'-f- dy- = \/a-s\n^ u -r- 6* cos^u du
ou, en remplaçant sin^ u par i — cos^ u et introduisant l'excentricité £ =: - \J a- — b-.
ds = a ^ i — t-cos^udu.
Alors, l'aire A = 2- / yds^ engendrée par l'arc BA, est
k = ir.ab I \/i — £- cos2 u sin u du.
Pour évaluer cette intégrale, faisons un changement de variable
en posant
£ cosa = sin/;
u partant de o, nous prendrons pour t la valeur to comprise entre o et - définie par z = sin^o ', " croissant, t décroît, et, pour a = - j t prend la valeur o.
On a alors
— £ sin M du = cos t dt^
y/ \ — e- cos'a = cos/, 1-ao r
/ cos"- tdt.
AIRE D UNE ZOXE. 127
Remplaçant cos^ t par -i— ^^-^j on voit que l'intégrale indéfinie
< , sin 2^ ^ ,,
est — \ ; — > et 1 on a
Remettons pour t^ sa valeur arc sin £, en remarquant que
il vient enfin, pour Taire du demi-ellipsoïde,
arc sine
r.ahi-— ^s/\
Comme vérification, on doit retrouver l'aire dun hémisphère de rajon a en faisant b =^ a et, par suite, s = o : effectivement.
1 1 ' arc sin z j . 17 • j • ^
[uand e tend vers zéro. tend vers i et 1 aire devient
Aire d'un ellipsoïde de réiolution aplati. — La méridienne étant une ellipse AB ayant pour petit axe l'axe de révolution Oar, un calcul analogue donne pour l'aire du demi-ellipsoïde
OÙ r, désigne lé rapport t, c = y b' a-.
Comme vérification, quand b tend vers a, r, tend vers zéro, et
l'on doit trouver l'aire d'un hémisphère de rajon a. Effectivement,
quand r, tend vers zéro, l'expression entre crochets se réduit à 2 et
l'on a
A = 2^aî.
7i. Aire d'un tore. — Le tore est engendré par un cercle tournant autour d'un axe Ox. Supposons que le cercle ne coupe pas l'axe {fig- 4o) et prenons comme origine la projection du centre G du cercle sur l'axe de révolution. Soit OG = a et soit R le rajon GM du cercle générateur. L'aire du tore est égale à l'intégrale
r.fyds.
prise toul le long du cercle G. En appelant t l'angle de GM avec Oy, on a, pour les coordonnées de M,'
ar = R sin^, ^ = a-f-Rcosf,
et, pour que le point M décrive la circonférence entière, il faut faire varier f de o à 271. On a évidemment
ds = 'Rdt\ donc
X = 'iTt I y ds = 27zR j (a -hKcost) dt.
L'intégrale indéfinie est at -\-K sin t^ et l'intégrale définie 27za,
Donc
A = 2TrR.27ra = /^-K^aR.
L'aire A est donc égale à la longueur de la courbe qui tourne 2 7rR, multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de cette courbe 2Txa. C'est là un cas particulier d'un second théorème de Guldin (n° 76).
75. Cas où la courbe traverse l'axe. — Dans ce qui précède, nous avons supposé que la méridienne AB de la surface ne traverse pas l'axe. Supposons qu'elle le traverse au point E. Alors on évaluera séparément l'aire A, , engendrée parla rotation de l'arc EB,
Pis- 49-
ce
et l'aire A2, engendrée par la rotation de AE. Pour un point M, de l'arc EB, l'ordonnée j;i est positive. On a donc {Jig- 4g)
Ai= 27r / ^ids,
