EB) «-MAE
La somme des deux intégrales du deuxième membre est évidemment l'intégrale 27z j f ds prise le long de la courbe de A
•^ (AB
en B.
Ainsi, dans ce cas, l'intégrale
2 7t / y ds,
(AB
qui représente l'aire totale quand la méridienne AB ne traverse pas l'axe de révolution, ne représente plus que la différence des aires engendrées par les arcs de méridienne placés de part et d'autre de l'axe. Gela se voit d'ailleurs a prio/H^ car, dans la somme
i-K I y ds,
le facteur ds est positif, mais^ est positif ou négatif suivant que l'élément <i.ç est au-dessus ou au-dessous de l'axe Ox. Par exemple, pour le tore, quand le cercle générateur coupe l'axe (cercle pointillé de la figure 4o), l'expression
représente la différence des aires engendrées par les arcs G' et G'.
76. Centre de gravité d'un arc de courbe plane supposé homogène. Théorème de Guldfin. ~ Soit un arc de courbe plane AB supposé homogène rapporté à deux axes Ojc el Oy. Soient G le
Appell. — Éléments d'Analyse. — st. 9
centre de gravité de cet arc, X et Y ses coordonnées. Appliquons
la formule
MY=^my.
Actuellement la masse d'une portion de l'arc de courbe est expri-
Fig. 5o.
dsy^
kA
ce
mée par le même nombre que sa longueur. On a donc M r= / (longueur totale) et, en appelant jk l'ordonnée d'un élément ds^
On a donc
m = ds
m y = y ds.
= f yds.
(AB
On trouverait de même, en prenant les moments par rapport àOy,
X/= r xds.
^{AB
Ces formules déterminent les coordonnées du centre de gravité de l'arc. Elles conviennent, quelle que soit la position de l'arc AB par rapport aux axes.
Théorème de Guldin. — L'aire engendrée par une ligne plane ^ tournant autour dUin axe^ situé dans son plan et ne la traversant pas^ est égale à la longueur de la ligne multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de la ligne supposée homogène.
En effet, l'aire engendrée par la ligne AB tournant autour &eOx est, d'après ce qui précède.
\ = '2- I y ds/'
AIRE CONIQUE OU CYLINDRIQUE. l3l
mais l'intégrale du second membre est égale à Y /, on a donc
ce qui démontre le théorème, car .•^7t\ est la circonférence de rayon Y =: GG' que décrit le centre de gravité en tournant.
Cas où la méridienne AB traverse Vaxe. — Dans ce cas, la différence des aires engendrées par les parties de la méridienne AB situées de part et d^ autre de laxe est donnée par la même intégrale
iT. i yds,
qui est toujours égale à
/.^TlY.
L'application du théorème de Guldin donne donc alors la différence des aires engendrées par les parties de AB placées de part et d'autre de l'axe.
Par exemple, si le centre de gravité de l'arc AB était sur l'axe, on aurait Y = o : les parties de la méridienne placées de part et d'autre de l'axe engendreraient des aires équivalentes.
