COMPRISE ENTRE DEUX GÉNÉRATRICES
77. Formule ' générale pour une surface conique. — Soit une surface conique {fi fi'. 5i ) dont le sommet est à l'origine O et dont la directrice D est une courbe gauche quelconque, telle que les coordonnées d'un point M de cette courbe s'expriment en fonctions d'un paramètre t par les formules
(M) oc=J\t), r = ^it), z = ^{t).
Considérons la portion S de surface conique limitée par une génératrice fixe OMo, une génératrice variable OM et l'arc M^M de la directrice D. Cette surface S est évidemment une fonction du paramètre t définissant la position du point M. Quand on fait croître t de dt^ le point M se déplace infiniment peu de M en M', les coordonnées de M' sont x -\-dx, y -^dy, z -\- dz, et la sur-
face s augmente de sa différentielle <iS, égale à l'aire du secteur infiniment petit MOM', qu*on peut confondre avec le triangle MOM' :
dS =. MOM'.
On sait que l'aire d'un triangle dans l'espace est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses projections sur trois plans
jy
rectangulaires. Si donc nous appelons ^S^, dSy^ dSz les projections du triangle MOM' sur les trois plans coordonnés yO^, zOx^ -^Oj', nous'aurons
ds = ^{dS:^y-h{dSyy-^{dSi)\
Évaluons dSz- La projection de la directrice D sur le plan xOy est une courbe D', lieu du point P du plan xOy dont les coordonnées sont données par x ^=f{t)^ y =■ o {l), La droite OM se projette en OP. La droite OM' se projette en OP'; le point P' ayant pour coordonnées :t -\- dx^ y -h dy. Le triangle MOM' se projette donc suivant le!triangle POP' qui a pour surface (n° 46)
«rs.
{xdy —y dx).
On trouve de même, en permutant,
d^x= -{ydz — zdy),
dSy= -{z dx
X dz)%
On a donc la formule
«iS = -s/{y dz — zdyf-^-i z dx — x dzy -^- {x dy —ydx)'^,
AIRE CONIQUE OU CYLINDRIQUK. l33
OU encore, en remplaçant x^y, z en fonction de t eldx, dy\, dz ^aYf'{t) dt, o'{t) dt^ ^'{t) dt,
dS = I /(cpJ;'-tL9')-''-f-(4;/'-yY)2-+-(/cp'-cp/')2 dt.
En intégrant de t^ à f, on aura l'aire conique limitée par les deux génératrices OMo et OM.
Exemple. — Prenons, par exemple, la courbe gauche du troisième ordre définie par les équations
X =Bz -t, y = t^, z ^ t^,
et cherchons l'aire de la surface conique aj'^ant son sommet à l'origine, ayant cette courbe pour directrice, et limitée par deux génératrices fixes OMo, OM et par la directrice. Actuellement
dx — - dt, dy — it dt^ dz = "it^ dt,
y dz — z dy — f* dt, z dx — x dz =z — t^ dt.
X dy — y dx = - ^3 dt.
onc
= - i/ 1^ -i- (^ -i- y t^ dt = - (f^ -+- - lA dt.
Intégrant entre ^o^ q"i donne le point Mq, et t, qui donne le point M, on a
ce qu'on peut exprimer comme il suit, à l'aide des coordonnées des deux points Mq et M,
78. Remarque. — L'expression de S ne changeant évidemment pas quand on développe le cône, celle de dS ne doit pas changer. C'est ce qu'on vérifie en remarquant que les côtés du triangle MOM' {fig'. 5i) ne changent pas dans le développement. On peut aussi
l34 CHAPITRE V.
mettre ce fait en évidence analjtiquement, en remarquant qu'on a identiquement
dS =z - /(ar2-+-j2^^2)(//a^2| ^j2^^^2) ^ (^jr: dcc -i- y dy -^ z dz)"^ ,
ainsi qu'on le vérifie en développant les deux expressions de dS.
Or, si l'on fait
OM = r, on a
r^ — a?' -h j2 ^ -2^ r dr = X dx -\- y dy -\- z dz,
donc
dS = - v//-2 ds-^—7'^~ dr'^ = - s/ds^— dr\
formule dont les éléments restent invariables quand on développe le cône, car l'arc s de la directrice ne change pas dans le développement, ni la longueur r de la géftératrice OM.
Cette dernière formule peut d'ailleurs s'écrire immédiatement, car la hauteur MH du triangle MOM' est
MM' — M' H' = ^ds^— dr\ et sa base 0M== r -{- dr diffère infiniment peu de r.
