Aire d'une partie de surface cylindrique. — Soit, dans

Fig. 52.

l'espace, un arc de courbe AB décrit par un point M de coordonnées

AIRE CONIQUE OU CYLINDRIQUE. l35

Considérons le cylindre projetant cet arc de courbe sur le plan des jcy en A,B,. On veut calculer l'aire ABB, A, limitée par les arcs AB, A, B, et les génératrices extrêmes AA, et BB,. Soient M et M' deux points infiniment voisins de AB correspondant aux valeurs t et t -\- dt du paramètre. Soient Mi et M'^ leurs projections. L'élément MM' est un élément d'arc ds de AB, l'élément M^ M j est un élément d'arcs dsi de la projection A, B, :

dsi = s/dx'^-^ dy^.

L'aire du rectangle élémentai^re MM'M'jM< est

z dsx.

L'aire, qui est la somme de ces rectangles, est donc

S =^ j z dsx = / -5 \/dx'^ -+- dyK Si l'on veut introduire la variable ^, on aura

S=/ '\>it)^f\t)-i-f'-^it)dt,

a et b désignant les valeurs de t donnant les points extrêmes AetB.

Cette formule est d'ailleurs évidente, si l'on développe le cylindre en faisant coïncider A,B, avec une portion de l'axe Ox. L'aire devient plane, et l'on peut lui appliquer tout ce qu'on a vu sur la mesure d'un segment de courbe plane.

DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION EN SÉRIE DE PUISSANCES ENTIÈRES ET POSITIVES DE LA VARIABLE.