I. — EXAMEN DE QUELQUES CAS PARTICULIERS. INTERVALLE DE CONVERGENCE

80. Généralités. — Le développement d'une fonction f{x) en une série de la forme

f{x) = «0-+- «1^ -+- «2iP^H- «3a73-h. . .-H a,ja?'»H-. . .,

où «05 <^i7 • • • 5 <^//i • • • sont des coefficients constants, est d'une grande importance aussi bien dans la théorie que dans les applications. Cette importance tient surtout à ce que, dans les limites dans lesquelles elles sont convergentes, les séries de puissances peuvent être différentiées, intégrées, multipliées les unes par les autres comme des polynômes.

81. Premier exemple. — Progression géométrique décroissante. — La théorie des progressions géométriques donne le développement

convergent pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et-f-i. On a, en effet, en faisant la division et désignant par p un entier positif quelconque,

(a) =\-^x^x^-\-...-\-xP.

Si X est moindre que i en valeur absolue, xP'^^ tend vers zéro

DEVELOPPEMENT D UNE FONCTION

quand/) augmente indéfiniment, le premier membre tend vers et l'on obtient le développement (i).

Autres développements en progression géométrique. — Voici quelques développements qui se tirent immédiatement du précédent :

1° Soit a une constante différente de zéro^ on a

comme on le voit en remplaçant dans (i) ^ par -. Ce nouveau

développement (3) est convergent quand la valeur absolue de est moindre que i

c'est-à-dire quand x est compris entre — a et -h a. 2" Si, dans la formule (i), on change ^ en — x"^^ on

développement convergent pour x compris entre — i et -f- 1 .

82. Représentation graphique. -- Considérons la courbe ififf- 53)

Fig. 53. Fig. 54.

Cette courbe est une hyperbole ayant pour asymptote la droite

AB, X =: l.

ï38 CHAPITRE VI.

Si Ton veut représenter graphiquement la fonction définie par le développement (i)

cette courbe n'existe que pour les valeurs de x comprises entre — 1 et -f-i, et, dans cet intervalle, elle coïncide avec

Le développement en série ne représente donc que l'arc de courbe compris entre AB et la droite A'B' symétrique de AB par rapport à Oy.

De même la courbe y= ^ a la forme indiquée (fig- 54);

le développement

convergent seulement quand x est compris entre — i et +1, représente l'arc BB' compris entre deux parallèles AB et A'B' à OjK, placées symétriquement par rapport à Oy à une distance i de l'origine.

83. Intervalle de convergence d'une série entière. — Théorï:me. — Une série entière converge dans un intervalle symétrique par rapport à zéro.

Considérons une série '

ati-\- a^x -^ a^x^-\- . . .-\- anX^-\~ . . ..

Cette série est toujours convergente pour ^ = o : sa somme est alors aQ. Il peut se faire qu'elle soit divergente pour toute autre valeur de x : elle est alors inutilisable. Mais supposons qu'elle converge pour une valeur particulière a, non nulle, de la variable x] nous allons démontrer qu'elle est convergente et même absolument convergente (*) pour toutes les valeurs de x comprises entre — a et -|- a, c'est-à-dire telles que

(^) Une série est absolument convergente quand la série des valeurs absolue de ses termes est convergente.

DÉVELOPPEMENT u'UNE FONCTION. iSq

En effet, la série

étant convergente par hypothèse, le terme général

tend vers zéro. La série proposée peut s'écrire

X / x\^ / x\" ao -f- a, a h «2 ^cM - j -+- . . . -h a^i a'M - j -]-

Supposons que la valeur absolue de - soit moindre que i ,

Comme a^a^* tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, il est évident que, pour toutes les valeurs de l'entier n dépassant un nombre fixe suffisamment grand, auOL^ est, en valeur absolue, moindre que i. Pour toutes ces valeurs de ai, la valeur absolue du terme général de la série proposée

est plus petite que - , c est-a-dire plus petite que le terme gênerai de la progression géométrique décroissante dont le terme général est - . La série proposée est donc absolument convergente.

D'après cela, on voit que la série converge nécessairement dans un intervalle symétrique par rapport à zéro, car, dès qu'elle converge pour une valeur a de x^ elle converge dans tout l'intervalle de — a à-|-a. Le fait que nous avons vérifié pour les développements

de , , est donc vénérai. Si l'on veut construire la

courbe définie par une équation de la forme

cette courbe n'existe qu'entre deux ordonnées symétriques par rapport à l'axe Ojk, comme dans les figures 53 et 54-

I40 chapitre: vi.

84. Intervalle de convergence. — On appelle intervalle de convergence d'une série entière un intervalle ( — «, -\-a) symétrique par rapport à zéro, tel que la série soit convergente pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle, et divergente pour toute valeur extérieure.

A priori^ on ne peut rien affirmer sur ce qui se passe quand x est égal aux limites mêmes

Il peut arriver que la série converge aux deux limites, ou en une seulement, ou en aucune. C'est ce qu'on verra dans les exemples suivants.

Exemples. — i° La série

\-\- IX -^Zx^-\-. . .-}- nx'^-'^-\-. . .

est convergente quand x est compris dans l'intervalle (— i, -f-i), et divergente quand x est, en valeur absolue, supérieur à i . En effet, le rapport d'un terme au précédent

{nA-\)x'^ /i -f- 1

nx'^~^ n

tend vers x quand n augmente indéfiniment. Dans cette série, l'intervalle de convergence est l'intervalle allant de — i à -j- i . La série est divergente pour les valeurs zb i , car, pour .r = liz i , le terme général augmente indéfiniment en valeur absolue.

2*^ La série

est de même convergente pour |:p| < i et divergente pour |.^| >> i .

L'intervalle de convergence est donc de — i à -j- i . A l'une des

limites x = — i , elle est convergente ; à l'autre :r = + i , elle est

divergente.

3"* La série

est convergente pour |a?| < i, divergente pour |:r | > i ; l'intervalle

DÉVELOPPEMENT DLNE FONCTION. l4l

de convergence est de — i à -|- i ; elle converge aux deux limites

4** La série

est convergente pour toutes les valeurs de x : on peut dire qu'elle converge dans l'intervalle symétrique — oo à +oo.

S'* Le développement de a-^, où a est une constante positive, se ramène immédiatement au précédent. jPour cela, on pose

t désignant une nouvelle variable; en prenant les logarithmes népériens de deux membres, on a

t = xLa.

Alors

xha x'^n.ay

Ce développement converge pour toutes les valeurs de x^ de

— oc à -|-CX).