II. — INTEGRATION DES DIFFERENTIELLES RATIONNELLES

102. Méthode générale. — Une fraction rationnelle R(^), d'une variable .r, est une fonction de x qui peut se mettre sous la forme du quotient de deux polynômes entiers en x :

^^ ^ Ao+ Ai.r-f- A2ip2-4-. . .v A,„a?'« l\{x) ==

Ho -h liiX -^ H.2X^-i-. . .-r- lip xi>

m et jo désignant deux entiers. Pour calculer l'intégrale

l\(x)dx,

on décompose la fraction rationnelle ^{x) en fractions simples et l'on intègre ensuite chaque fraction simple séparément. Gomme on l'a vu en Algèbre, pour faire cette décomposition, il faut connaître les racines du dénominateur de R(a7). Ces racines une fois connues, la décomposition de la fraction rationnelle en fractions simples

l66 CHAPITIΠVII.

peut se faire par la méthode des coefficients indéterminés et n'exige plus que la résolution d'équations du premier dci^ré.

Les seules difficultés que pourra présenter l'intégration seront donc à ordre algébrique ; elles porteront sur le calcul des racines du dénominateur.

Exemples. — I. Soit à calculer

dx.

Les racines du dénominateur sont deux racines simples réelles I et 2. Comme le degré du numérateur surpasse d'une unité celui du dénominateur, la méthode de décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples donnera la fraction considérée sous forme d'une partie entière du premier degré, suivie de deux fractions simples ayant pour dénominateurs x — i et ^'

= Xx-^B-~

Les coefficients A, B, C, D doivent être choisis de façon à rendre le deuxième membre identique au premier. En chassant les dénominateurs, on a l'identité

Identifiant les termes en x'^ et en j-, on a

A = i, 15— iA = o, IJ = 3.

Faisant ensuite x =^ v. puis j:- = 2, on a

L'intégrale proposée est donc identique à

/' „ r >. dx r 9 dx

j (^ + ,^d.r-J -^^^J --^^, c'est-à-dire