I IX

- L(x^-i- X -\- i) ^ arc tanjj h const.

En résumé,

/-— - — dx X^{X^-^ X -^l)

-—H i L(x^-^ X -h i) -^. = arc tang = h const.

QUELQUES MÉTHODES d'iNTÉGRATIOX. 169

103. Cas général. — Si Ton considère une fraction rationnelle quelconque R(^), et si on la décompose en fractions simples, on trouve des termes des divers types suivants : d'abord une partie entière

(I) a^-^- aix -^ a-ix- ^ . . .+ a,.x^^

quotient du numérateur par le dénominateur; puis des termes de

la forme -

(II

X — a (X — a)'^ {X — rt)»

provenant d'une racine réelle a d'ordre a du dénominateur

(A. A', . . ., A^^'"*^ sont des constantes); puis enfin des termes de la forme

M^x + Ni M.2.r+N2 Mva7-+->Jv

'--\-px-\-q {x^-^ px -T- q)' {x--^px-^q)"^

provenant d'un couple de racines imaginaires conjuguées d'ordre v du dénominateur {x--\-px-\-q est un trinôme du deuxième degré admettant ces deux racines conjuguées; Mi, N,,..., Mv, Nv sont des constantes).

Pour calculer l'intégrale

j'wix)

dx.

il suffit de calculer les intégrales des expressions (1), (II) et (111) multipliées par dx. La partie entière (1) donne l'intégrale

«0^7 -h «I 1- ... 4- a,. h const. ;

les fractions simples (11) provenant d'une racine réelle donnent l'intégrale