AT/ ^ • ^' A" A
£S.\a{x — a) — . , .— ' -1- const.
x~a ^{x — a)^ (^a — j)(ic — a)a-i
Il reste donc à calculer les termes de l'intégrale provenant des fractions simples telles que (111). Ces termes se calculent par voie récurrente comme il suit.
^ dx. — Chacun des termes de la
somme (III) donne une intéorale de la forme
/ - — dx.
J {X--+-/JX -f- q )"
où n a des valeurs entières positives n =: i , n = 2, ..., /î =: v. Pour calculer cette intégrale, décomposons d'abord le trinôme
x- 4- j)x + rj en carrés :
x--^px-i-q=lx-\--j -+- q — -—•
Les racines du trinôme étant imaginaires, rj — ^ '— est positii;
mais le calcul que nous allons faire pouvant s'applicjuer également au cas où les racines seraient réelles, nous ferons
Il pouvant être positif ou négatif. L'intégrale s'écrit alors
dx.
!t, en faisant le changement de variable.
^dt.
ntégrale qui se partage en deux parties : Comme 2t dt est la différentielle de ^--|- /i, la première intégrait
est
QUELQUES MÉTHODES d' INTÉGRATION. 17'
quand n est différent de i, et
md n
quana /i = i .
Reste à calculer l'intégrale
Nous allons, en supposant n supérieur à i, établir une formule récurrente entré I„ et in-^- Pour cela, partons de
"-'-J (J-'-i-hy^i et écrivons cette intégrale sous la forme / u dv en posant
(r-^-i-/«)"-i L'intégration par parties donne
/ u dv = uv — 1 V dii^ c'est-à-dire
I„ 1 = -— — -^c^ln — l) / ; ; dt.
Dans la dernière intégrale, écrivons le numéraieur sous la forme
cette intégrale devient Vu k — ^^^n' On a donc
d'où, en résolvant par rapport à I„,
Le calcul de I,, est ainsi ramené à celui de \n-.\' Cette formule étant établie, pour calculer une intégrale Iv, où v est un entier positif quelconque, on fera successivement, dans la
iy'>. CHAPITRE VII.
formule récurrente ( i ),
/i = V, 71 — j — I , n == V — -2, . . . , n = ■>., ot l'on sera ramené finalement à calculer Tinléj^rale !< :
Quand h est positif, cette intégrale s'écrit
Ji = — Tz / = — =. arc tane — rr«
Quand A est négatif, A = — A-, ou a
Remarque. — Au point de vue pratique, il y aura avantage à commencer le calcul par I,, I2, etc. Carie calcul de I, servira pour celui de I2 ; celui de I2 pour I3; et ainsi de suite.
Exemples. — 1" Soit à calculer
Décomposant le trinôme en carrés, on a
si l'on pose al'ors
l'intégrale I devient
r t — i r t dt r dt
en posant, comme plus haut,
di
QUELQUES MÉTHODES d'iNTÉGRATION. 178
la quantité 11 est égale à 2. Si, dans la formule récurrente (r), on fait n — 3, puis « == 2, on a
d'où
ii;
arc tan g
L'intégrale proposée I a donc pour valeur, à une constante prés, II i t 3 t 3 I t
ou, en revenant à la variable ^ et réunissant les termes de même dénominateur,
I 37 + 4 3 ^ -f- ?. 3 I .r + 7, [ .^ ; — __ - — arc tancf ^^ •
8 (^7--+- 4^7 -+- b)- 01 x'^-Jr-ia; -^ b o'i ^.^ "^ J^
2" Soit à calculer
1 = f -^^ dx.
x'*-^'i = (x^-h i)-— IX' = {x^-{- I — X y/2) (x^-h I + X y/'i),
I / ir — \/-j. 2X -h sj-x
L'intégrale indéfinie est alors
I 372 — 3^ y/2 -+- 1 ^ I r dx I /- <^^ ,
La première partie s'annule aux limites — 00 et -h 00, car l'argu
ment du logarithme est égal à i ])our ces deux limites. On a donc
I r^" dx [ z-^* dx
I r dx [ r^^
;r2 — X sj 0. -I- I ^ • » 37- H- X y/'2 H- 1
I Ç^ dx i r
En faisant, dans la première intégrale x — ■ - y/:>. ^ ~f ^^^ ^"^ ^'<^^^
■-^ sji
qu'elle devient
du I v/'
arc tan a M
La deuxième a la même valeur.
Donc :
