III. - INTEGRATION DES DIFFERENTIELLES RATIONNELLES
EN sin^ ET cos^.
lOo. Méthode générale. — Soit une intégrale de la forme 1 = / R(sina:', cosir) dx^
où R désigne une fonction rationnelle de sin^ et cos j^. On ramène cette intégrale à l'intégrale d'une différentielle rationnelle en faisant le changement de variable
tan" — — ^,
où t est la nouvelle variable. On tire de là
sina? = ) cosx =
X j 9. dt - = arc tang^, dx =
L'intégrale proposée devient alors
c'est l'intégrale d'une diflerentielle rationnelle en t.
QUELQUES MÉTHODES d'iNTÉGRATION. 175
Remarque. — Une fonction rationnelle en tang\r, cot.r, sécx^ cosécj:' est aussi une fonction rationnelle en sin^r etcos^, puisque
sin.r ros.r
sec.r = , cosec.r — —.
Exemples. — 1. Soit à calculer
dx
r dx
J s'inx
Par l'introduction de la variable t^ cette intégrale devient
r dt
— ht -\~ const J t On a donc
L tang— H- const.
r dx
j ^mx " ^
On en conclut, en changeant, dans les deux membres, x en
fi
