h COS
dx — X ~ arc tani; ( -— tang- \ -h const.
s/3 " Vv/3
III. y^/re <i'/^/i secteur parabolique compté autour du foyer. — Considérons une parabole de fojer F et de sommet A. Soient r et 8 les coordonnées polaires d'un point M, /• désignant le rayon vecteur FM et B l'angle polaire AFM. Nous nous proposons d'évaluer l'aire du secteur AFM : c'est là une question qui se présente en Mécanique pour le mouvement parabolique des comètes autour
du Soleil {Jig- ^)~)-
Fig. 5-.
L'équation de la parabole, rapportée à son foyer et à son axe, est
I -h cosO D'autre part, la difFérentielle de l'aire vS d'un secteur est (n" io)
dS = -r'^dO^ - • , rfO.
•2 ■>. (I H- COSO)'^
Donc
1 + cosO)î
La limite inférieure est zéro, car S est nul avec 9. Pour évaluer cette intégrale, faisons
tang - = t, cosO = ■) aO =
QUELQUES METHODES D INTEGPATIOX. I77
Il vient, comme t s'annule avec 0,
8 = ^/-(,^,.)rf,..^(,^^
4 Jn • :| \ 3
106. Différentielles rationnelles en tang^. — La méthode générale se simplifie dans le cas où il s'agit de trouver l'intégrale d'une différentielle rationnelle en langer :
/ R(tang.r) dx.
Dans ce cas, il suffit de poser
, du
tangr==M, .T = arc tangw, dx ^=
1 -h u'^ pour être ramené à Fintégration d'une différentielle rationnelle
Exemples. — i'* Soit
/ tang'^a; <:/.r ;
par la substitution que nous venons d'indiquer, on trouve, pour cette intégrale,
T-^ du = f iu- —^^\du = ^ ! L(i + w2) -f- G.
2"^ Soit à calculer
r dx
J 1 -r- tang^- Cette intégrale devient
du
= - L(i -f- u) -^ -arc tangw. — - L(i + u-) -\- G.
Remaïque. — Il peut arriver qu'une fonction rationnelle en [ sin:?; et.cos JT, R (sin :r, cos x), puisse s'exprimer rationnellement
Ai'PKM,. — Eléments d'analyse. — st. 12
en tang\z:. Dans ce cas Fintégrale
R (sinx, cos^c) dx
se calculera par la substitution lang\r = //.
Le théorème suivant indique immédiatement si l'on se trou\e dans ce cas simple :
Pour qu une fonction rationnelle de un x et de cos x soit une fonction rcitionnelle de tang x = u^ il faut et il suffit qu' elle ne change pas quand on change x en x -\- r..
La condition est nécessaire, car u = tang j" ne change pas quand on change x en x -h ~- Elle est suffisante; en effet, on a sin:r = // cos^; la fonction s'écrit donc R(w cos.27, cos^); elle est rationnelle en w et en cos x. Si Ton change x en x -{- t.^ u ne change pas, cos^ devient — ^cosr; parhjpothèse,lafonctionR(wcos2:, cos^) ne change pas : elle ne contient donc que des puissances paires de cosr; elle est rationnelle en u, car cos-jc= -•
Par exemple, la fonction
sin:r
ne change pas quand on remplace x par ^ -f- -. Elle est rationnelle en u : y ^=^ ~ -
