IV. — QUELQUES INTEGRALES SE RATTACHANT AUX PRÉCÉDENTES
107. Intégrales d'un produit de sinus et de cosinus. — 1° Soit d'abord une intégrale de la forme
I co?>{ax -]~ a) cos (bx -h- [::.) dr,
où a, 6, aet j3 désignent des constantes. On remplacera le produit de cosinus par une somme, d'après l'identité
cosX cos;j. = - [cos(X -4- [jl) h- cos(X — a)],
QUELQUES MÉTHODES d'iNTÉGRATION. 179
qui donne
(i) cos(ax -i- (x)cos(bx -h p) = - ] cos[{a -^ b)x -î- Ci -^ [-i]
os [(a — 6) 37 4- a — [i] [
d'où l'on tire immédiatement
/ cos (ax -\- y.) cos(bx ^- 3 ) dx = -
I s\r\\(a -+- b)x -{- a -{- '^] a -r- b sin [ ( a — b).r -{- 7. — {i ]
Cette intégrale change de forme quand a-{- b ou a — 6 est nul. Par exemple, si ^ = a:, x disparaît dans le deuxième cosinus du second membi'e de l'identité (i) et Ton a
/ co%{ax -T- %) cos(ax -h |j ) dx
I s\n( 'lax -i- oc -+- i^)
H — X COS (a — 3) H- G.
■2'' En parlant de Tidentité
sinX sin ijL = - [cos(a — a) ^— C(^s(X -h a)],
on trouve de même, ])Our
I sïn{ax -i- 7.) s'in (bx ->r- '^) dx , l'expression "
1 si n \( a — b)x ^- y. — 3 ] i si n f fV/ -f- A ) -^ -F y. -I- S |
(pii change de forme, quand 1) = a ou /v = — a. Si, par exemple, b = a, on a
I sin ( 2<2.r -+- a -t- -i )
/ ?>\n{ax -\- y.) sin (ax + 3) dx^= - .r cos(a — 3) 3" Enfin, F identité
si n X cos ijL = - [ si n ( X -f- ;jk ) H- s i a ( X — a )]
donne de même, pour l'intégrale
/ si n ( a X + a ) cos ( Z> a? -+- ^3 ) dx^
l8o CHAPITRE VII
rexpression
1 cos[C«nr -h è')r -4- a -H (3] i cos[(a — h)x -\- 'x — ^1
qui change de forme pour a^=^±b^ et qui devient, pour a=^ b. par exemple
1 cos('2a.r + a 4- 8) i . ^ „, „
2 ia 1 '
4^ Si l'on a une intégrale portant sur un produit de plusieurs sinus et cosinus d'arcs linéaires en x comme les précédents, on remplace ce produit par une somme de sinus et de cosinus : l'intégration est alors immédiate.
Par exemple, si le produit comprend trois facteurs
COSA COS tJ. cosv,
où
\ = ax -\- (X. ;jL = Z> ,r -h [j , v = ca; H- y,
on remplace d'abord cosT.cosij. par une somme
COS A COS a = -COS (A -f- u.) H cosi A — .a);
en multipliant par cosv, on a deux produits qu'on remplace, à leur tour, par des sommes
cos(À -h [jl) cosv = - cos(X -r- JJ. -h v) H cos(X + ;JL — v),
COS (À — a) cosv = - COSf X — U -4- v ) h COS( A — 'i. — v),
On a donc finalement
COSX COS U COSV — - COS(X H- 'X H- V ) H COS (À + U — V )
-h - COS ( A — ;j. -H V ) H- - COS (À — |JL — V ).
L'intégration est alors immédiate.
108. Puissance positive d'un sinus ou d'un cosinus. — La méthode que nous venons.de donner, pour trouver l'intégrale d'un produit de sinus et de cosinus, s'applique évidemment quand
QUKLQUES METHODES D INTEGRATION. l8l
plusieurs facteurs du produit deviennent égaux. Supposons-les tous égaux, nous aurons une intégrale de la forme
/ cos'" {ax H- 7.) dx ou
/ sin'«(aa7 4- a) dx^
m étant un entier positif.
Si l'on fait
ax -\- y. r= u,
ces intégrales deviennent
/ cos'"a du, - I s\n'
Pour les évaluer, on remplace cos"^w et s\n"^u par une somme de cosinus et de sinus des multiples de u. Les expressions de cos'";^ et de sin^^w par des sommes peuvent se calculer de proche en proche ; par exemple :
cos-'w = — h-cos2a;
multipliant par cosm et remplaçant le produit cosu cos 2 u par une somme, on a
cos"*;^ = - cosw -+- - coso u -\ — cosm = - cosw H — cos3 u. •>■ 4 4 4 4
Multipliant par cosw et remplaçant chaque terme du second membre par une somme, on a cos'* u ; et ainsi de suite. On peut opérer plus rapidement comme il suit. Posons
d'où, d'après l'identité d'Euler (n" 91),
cosa z=z -Çk + I^), sint^ = — .(X — [jl),
coswa= -(')v"+ a«), sinnw = —.(A"— a").
l82 CHAPITRK VII.
On a donc, d'ain-ès l'expression de cos^/,
