I . I ^^ ffi

cos'" u= — ( A + [x )"' — A"' 4- ^J."> H -A a( A'" -- H- [x'"--' )

Dans celte formule, on développe (a -f- u)'" par la formule du binôme et l'on réunit les termes qui ont mêmes coefficients : le premier et le dernier, le deuxième et ravant-dernier, etc. Or on a

Xm-I 4 jj(.//i-2 — 9 cos( f)l — 2 )//,

On a donc

2 cos fuu -h 2 m cos( /n — -2) u

-! ; — co?>{ni — 4)^' -+-• • • •

L'intégrale / cos"^ a du s'obtient alors immédiatement. Exemple. - Soit à calculer

/ cos* u du.

On a

d'où

10 lu

On en déduit immédiatement

r , , I /sin4// . . \

/ cos* u du — h -2 sin 2 u -\- \u\-T const.

On calcule par la même méthode

/ ?,\ï\"^ u du\

il suffit de partir de l'identité

s'xxxu = — ^.(À — ;jl) ■Il

QUELQUES MÉTHODES d'iNTÉGRATION. l83

et d'élever les deux membres à la puissance m, en remplaçant ensuite les termes tels que ).^4- {^^ par 2Cospu et les termes tels que A^ — [JL^ par 2isinqu. On peut aussi changer le sinus en un cosinus en faisant ^^ = c -J- - •

Formule de récurrence. — On peut encore, en posant

I,/, =z / cos'"a7 dx

[m entier positif), établir une formule récurrente qui ramène 1,„ î^ T/«-2- Ecrivons

I„,=/cos»-...rfsin.,

et intégrons par parties

lin = cos'"-'a7 sina? -\- {m — i) , / coi"^^'^x s\n-x dx.

Dans la nouvelle intégrale remplaçons sin^a? par i — cos-^- ; elle devient I,„o — I,„. Donc

I,;, = cos'«-'^sina7 -f- (m — i) (I,„2— I/«); •

d'où, en transposant,.

ni\,„ = cos'"-ia7 sina7 + (m — i)Im-2.

On ramène de même \m-2 à Iw/,j ... et ainsi de suite, et l'on arrive finalement à

Ii= / cosa? û?a" = sin.r -+- G ou à

Jq = / dx =37-1-0.

Une méthode identique s'applique à

i„i= I s\n"^xdx.

109. Remarque sur l'intégrale / cos"^ u sinP u du. — Pour calculer l'intégrale

/ cos"^ u s'inP u du,

OÙ TU et /> sont des entiers positifs, on peut remplacer cos^Ui et s\nP u par des sommes de cosinus et de sinus des multiples de u. En faisant le produit de ces deux sommes, on aura à calculer des intégrales de la forme

/ cos nu cos n' u du ^

/ cos nu sinn' u du.

Quand un des exposants m ou p est impair, ou que les deux sont impairs, le calcul se simplifie. Soit, par exemple, m impair, m = 2 /i + I . On écrira l'intégrale

/ cos^'^ u s'inf u d sinu

ou, en posant sinu = ^,

(i --i^V^tr dt,

intégrale qu'on calcule immédiatement après avoir développé (i — t^)" par la formule du binôme. De même, si p est iriipair, on fait cos M = t.

Exemple. — Soit ' •

/ cos^ u sin*?« du.

En posant sinu =- t^ on a