Cas de a positif. — Supposons a >o. Nous écrirons

y = sj a ^x^ -^ px -+- q.

Désignons alors par u une nouvelle variable, et posons (i) sJ x"^-^ px -V q — X — //.

Elevant au carré et supprimant x- dans les deux membres, on a (2) px-^q= — lux-^u-, X =^

Remplaçant ^ par cette valeur dans le second membre de l'équation (1), on a

, „ ,— fû -h pu -i- q

De cette façon, œ ely sont des fonctions rationnelles de u. En différentiant l'expression (2) de :r, on a

(4) dx^.'''--^P'"^'fda.

{■lu-^p)-'

Si alors, dans l'intégrale proposée

/ ^y{^,y)dx,

on remplace ^, y et dx par leurs valeurs ci-dessus, elle se transforme en l'intégrale d'une différentielle rationnelle en u.

Exemple. — Soit à trouver l'intégrale

dx

i Ton

fail

■ TT- 2 a;- -T- 3 = T —

on

trouve

y/:? ■- -h 2 iC -f- J =

dx

'intégi

\ile

I devient donc

du.

Décomposant la fraction rationnelle en fractions simples, on a

1 , u~\~ sj'i —^ L — -t- const.

v/3 7A — /3 OU, en revenant à la variable x^

I ^ .T -^ J'.) Jx'^ -h 2 37 -h 3

\ — ~-\, 1— + const.