Cas de a négatif. - Quand a <^ o, on peut écrire
y = sj ax- -h ^ ^ -i- c = v^ — <^ / — .-r- -h /> ar H- ^,
en mettant en facteur y/ — a qui est réel. Pour que la valeur dey soit réelle, il faut que le trinôme — x- -\- px ^ q ait des racines réelles et que x soit compris entre ces racines. Appelons a et ^ les racines de ce trinôme, a étant supposé moindre que jB. On peut écrire
yj — X' — px -r- q — s/{^x — :t,){^ — x).
Posons alors
(5) 3- — a = (fi — ir)w2,
U désignant une nouvelle variable. INous avons
^.iii
QUELQUES MÉTHODES d'INTÉGRATION. i8;
quant au radical, il devient
/( .r — a j ( [i — x; = ( ^ — rr ) « ou, en remplaçant x par sa valeur (6),
(7) s/k^- - a) (îi - .'/■•; = ([i - ^c) — -— •
Enfin, la relation (6) donne
, . r. " du
(8) rf. = .(^-.,— -^^.
Par ce changement de variable, l'intégrale proposée
/ R(^, y)dx
devient donc l'intégrale d'une différentielle rationnelle en n. Exemple. — Soit à calculer l'intégrale
OÙ a est inférieur à [3 et où K est extérieur à l'intervalle (a, jj). Nous supposons, pour fixer les idées, X <:^ a. En faisant la substitution que nous venons d'indiquer, on trouve
, arc tang ( Ui / tZlJl \ -i- const.
En particulier, si l'on veut l'intégrale définie
la formule du changement de variable
montre que, u variant de o à oo, :r varie de a à Jîi. On a donc
du
l88 CHAPITRE VII.
Nous venons de calculer l'intégrale indéfinie J : l'intégrale définie H est la difTérence des valeurs que prend J pour m = co et
pour a = o. C^omme arc tang o =^ o, arc tang oo = -, on a
Cas de a nul. — Si a est nul, on a
y = sj bx -h- c.
On fera
, . ,9. Il du
bx -V c = it'^^ y =■ IL, dx = — - — J
et la difTérentielle
\\{x, y) dx
deviendra rationnelle en u.
113. Intégrales se ramenant aux précédentes : différentielles rationnelles en x, ^a.2? + ^i, et y/y-r + 5. — Soit
/ R ( 37, sl'xx -V- J, yj^[x -^ri) dx^
R désignant une fonction rationnelle. La substitution
donne une intégrale de la forme
r^(x, v/ax^-^c)c^x,
ou
c'est-à-dire une intégrale du type que nous venons d'étudier Par exemple, l'intégrale
