I -f- v/i — oc , — dx

où l'on fait y/i -h ^ = X, prend la forme

2 Al -h /r=ôî^)^x,

QUELQUES METHODES D INTEGRATION.

qui rentre dans le type du n" 112 et qui est égale à

2 X -i- X sj -i. — X- 4- 2 arc si 11 -— •

114. Interprétation géométrique du changement de variable employé. — Voici comment on peut interpréter géométriquement les substitutions qui nous ont servi à ramener l'intégrale

où

y = ^^ax--i- bx -i- c,

à l'intégrale d'une fonction rationnelle de w, et comment on peut trouver d'autres substitutions permettant d'arriv^er au même résultat.

Si Ton considère x et y comme les coordonnées cartésiennes d'un point M, l'équation

y = \J ax- -^ bx -V- c représente une conique, l^our ramener l'intégrale

/ K{x, y) dx

à l'intégrale d'une fonction rationnelle, il suffit d'exprimer les coordonnées x et y d'un point M de cette conique en fonction

Fi";. 58.

rationnelle d'un paramètre u. Pour cela, prenons un point fixe quelconque Mo sur la conique {fig. 58), ayant pour abscisse x^ et

pour ordonnée

y^= \J ax;^ — b.

igo CHAPITRE VII,

puis coupons la conique par une sécante varial)l(' AIq^I [)aisanl par M,). Cette sécante a une équation de la forme

Comme elle coupe la conique en un seul point variable M, les ordonnées x et y de ce point M s'expriment rationnellement en fonction de u. On voit qu'il y a une infinité de façons de réaliser la transformation de l'intégrale en une intégrale d'une fonction rationnelle, puisque le choix du point Mo est arbitraire.

Il est aisé de voir que les substitutions employées dans les numéros précédents rentrent, comme cas particuliers, dans celles que nous venons de définir.

Prenons d'abord la conique

y = \J x'- -T- px ^ q :

c'est une hyperbole équilatère {fig- 09, I), dont les asymptotes sont parallèles aux bissectrices des angles des axes. ÎNous avons posé

ou

- px

Cette dernière équation, dans laquelle u est variable, représente une droite mobile parallèle à l'asymptote CA, c'est-à-dire passant

Fig. 59.

|)ar INI point M,, de l'hyperbole rejeté à l'infini dans la direction CA. (]('U(^ droite ne coupe la courbe qu'en un point variahic AJ, dont les coordonnées s'expriment dès lors rationnellement en 11.

QUELQUES MÉTHODES d'iISTKGBATION. IQI

Prenons ensnile laconique

Pour qu'elle soit réelle, il faut que les racines du trinôme soient réelles; on peut alors écrire

jK = v/(^— a) ([i — X).

Cette équation représente un cercle {^fig- 5(), II), ayant son centre sur Ox et coupant cet axe aux points A'f^^^^-) et B'(^= 3). Nous avons posé

X — 'j, = {^j — x)iC-, d'où

Cette équation représente une droite B'M, passant par le |)oint fixe B' du cercle et coupant le cercle en un seul point \ariable M.

llo. Remarque sur les courbes unicursales en général. — Etant donnée une courbe plane algébrique

on dit qu'elle est unicursale^ quand les coordonnées x et y d'un quelconque de ses points peuvent être exprimées en fondions rationnelles d'un paramètre u. Telles sont les coniques, les courbes du troisième ordre avec un point double, les courbes du quatrième ordre avec trois points doubles ou un point triple. Si l'on veut calculer l'aire d'un segment ou d'un secteur d'une de ces courbes, on est conduit à calculer des intégrales de la forme

I y dx, j {x dy ~y dx),

le long d'un certain arc de la courbe. Comme ^ etjK peuvent être exprimés rationnellement en fonction de u^ (^n voit que, en introduisant cette variable u^ on sera ramené à intégrer des fractions rationnelles en u. Il en est de même si Ton a à calculer, le long d'un arc de la courbe unicursale, une intégrale de la forme

^{x,y) dx, R étant une fonction rationnelle de x et y.

116. Exemple : différentielles rationnelles par rapport à ^ et à

des puissances fractionnaires de — !r- — Considérons une inté-

craie de la forme

où R est une fonction rationnelle de oc et de puissances fractionnaires de ^— — ir- On peut rendre cette différentielle rationnelle en

réduisant les exposants fractionnaires (positifs ou négatifs) — > — ^ —r,j . . . au même dénominateurs et faisant ensuite a./' ^ 3 ■ ou"'— S

i^ Soit, par exemple,

Les exposants 7 et - étant égaux a - et a -, on tera X — r „ u*^-^ i

dx z=z i

1 = 3/ a' du,

intégrale d'une différentielle rationnelle.

Géométriquement, on peut dire que la courbe

est unicursale, car la substitution indiquée exprime :r et y en fonctions rationnelles de 11. L'intégrale donne Taire d'un segment de cette courbe.

QUELQUES MÉTHODES d'iNTÉGBATION. 193

•° Dans ce type rentrent les intégrales de la forme

R désisnant une fonction rationnelle de x et de if - — ^^' La

substitution

rendra la différentielle rationnelle.

3° Soit encore à calculer

Les exposants de ^ sont - et -; en les réduisant au même déno-

minateur, on peut les écrire 7 et -; on fera alors X = lî* , dx = 4 '^^ ^^^5

et l'intégrale deviendra

4 / — u au,

qui est l'intégrale d'une fonction rationnelle. Géométriquement, on peut dire que la courbe

sj X -h \/ X

est unicai'sale^ puisque la substitution x = u'' donne x et y en fonctions rationnelles âe 11.