VI. - INTEGRALES DE DIFFERENTIELLES BINOMES
117. Cas d'intégrabilité. — Lue différentielle binôme est une différentielle de la forme
x'"{a -h bx^)P dx^ où a el b désignent des constantes quelconques, m, ji et p des
Appell. — Éléments d'analyse. — st. 13
exposants commensiirables, entiers ou fractionnaires, positifs, négatifs ou nuls.
L'intégration d'une différentielle binôme
— .x"Ha-r- bcc'iji'dx
peut être effectuée, à l'aide des fonctions élémentaires, dans chacun des trois cas suivants :
i^ p est un nombre entier, positif, négatif ou nul;
2" est un nombre entier, positif, négatif ou mil;
3'* h /> est un nombre entier, positif, négatif ou nul.
Nous allons traiter le premier cas ; puis, nous verrons que le second cas se ramène au premier, et le troisième au second, et par suite au premier.
Premier cas. — Supposons jo entier. Tout d'abord, si p est un cni'iev positif ^ on développera {a-\-bx^)P par la formule du I)inome, on multipliera le développement par x"^dx et l'on sera ramené à l'intégration d'une somme de termes de la forme
Exemple. — Soit à calculer
Développant le cube
( H- ^« ; r=: iH- 3 a:« -i- 3 a^^ 4- a:2
et multipliant par x 2 dx., on est ramené à calculer
intégrale qui est égale à
— ix * — 9.r •* — 18a; '^ -f- La; -T- const.
QUELQUES MÉTHODES d'iNTÉGRATION. 195
Supposons ensuite p entier, mais négatif. On ramène alors r intégrale 1 à l'intégrale d'une fonction rationnelle comme il suit. Les exposants ni et n sont des fractions positivés ou négatives; l'éduisons-les au même dénominateur et soient, après cette réduction.
m = - > Al = -
Faisons le changement de variable
•n en conclut
- .r'« = wM-, x^^ = iC, dx — }> ii>'-^ du,
et l'inlégrale devient
X / fi>-+[j--i(rt + hic^y
du.
où tous les exposants \--\- ;j. — i , v,/) sont entiers, positifs ou négatifs; on est donc ramené à Tintégration d'une fonction rationnelle.
Exemple. — Soit à calculer
i X * VI — .r*» j dx.
Actuellement, /> = — 2, entier négatif. On réduit les fractions 4 6
/?i = r> /i = - au même dénominateur 12 :
on fait, ensuite, x ^=^ u^'- ei Ton est ramené à l'intégrale
qu'on calculera, d'après la méthode du n" 10!2, en décomposant -— - — -- en une partie entière du quatrième degré suivie de fractions simples correspondant aux racines du dénominateur.
De • m -+- 1 . . X
EuxiEME CAS. — S^pposons maintenant entier, On
ramène ce cas au précédent [p entier), en prenant comme nouvelle variable le binôme a-\-bx^'. Posons donc
a -+- bu-"— t^
t désignant une nouvelle variable. On en tire
x'n^b~'^(^t-a)~, dji = -b~~'{t — aY~ dt.
L'intégrale '
I — / rp'" {a-\-bx'^ )P dx devient alors
\^ -b " / tP{L — a) " dt.
On est ainsi conduit à l'intégrale d'une différentielle binôme en t de la forme
V = j t"''{a' -^b't>'')p' dt,
, , , m H- I ou m =z p^ n = 1, p =: I .
Comme "^ est supposé entier, l'exposant p' est entier, et l'intégrale F rentre dans le premier cas.
Exemple. — Soit
x-^^i-^x ^) dx.
Ici, m= - 7 n = j = — ^ I .
2 in
On voit que est entier. On prend alors comme nouvelle
variable le binôme
dx=—l(t — i)~^dt, et l'intégrale devient
i = -1j^t^it-iy^dt.
QUELQUES MÉTHODES d'iNTÉGRATION. I97
On est donc ramené au premier cas. Pour achever Fintégration, on fait, conformément à la méthode du premier cas,
et l'on a
intégrale d'une fonction rationnelle.
TuoisiÈME CAS. — Supposons enfin ^p entier. On
ramène ce cas au précédent de la façon suivante : on peut écrire
(a -+- bx'^)P= x'^P(ax-"-h b)f>.
D'après cela, l'intégrale
. \ =1 X'" (a -h bx'i)P dx peut s'écrire
I = / x"'-^"P(b + ax-")P dx,
intégrale de la forme
li= I x"h(ai-h biX'h)P dx^
nii = m -\- np, Ai} = — n ; donc
rri] -h 1 tn -^ jip -\- \ / m -t- \ \
iix — a fi /
