Application. — Rectification de la courbe

où. a est une constante et k un exposant quelconque.

On a, en appelant s Tare de courbe compté à partir d'un

igS CHAPITRE VU.

certain point fixe.

on a donc l'intégrale d'une difFérentielle binôme on

est

pas

entier;

■ -On

Examinons les cas d'intégrabilité :

On pourra donc intégrer exactement si

E désignant un entier positif ou négatif;

3'^ '■ ^ n --- —, H On peut intégrer si

E' entier positif ou négatif.

En résumé, on peut intégrer à l'aide des fonctions élémentaires, quand k est le rapport de deux entiers consécutifs.

Par exemple, pour la parabole semi-cubique

y z= ax' , k — -

on est dans le deuxième cas, E = i ; on a alors

/ \ \^ -a-x] dx —

VII. - APPLICATION DES DEVELOPPEMENTS EN SERIE DE PUISSANCES AU CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES.

Nous donnerons, à la fin de l'Ouvrage, des méthodes d'approximation et des procédés mécaniques pour évaluer les inlégralcs. Nous indiquerons ici comment, dans certains cas, on peut

QUELQUES MÉTHODES D INTEGRATION. 199

calculer, approximativement, une intégrale en la développant en série.

1 19. Intégrale / e~''"'dx. — Cette intégrale, qui représente l'aire

de la courbe y-ie~-^''' depuis Taxe des j- jusqu'à une ordonnée d'abscisse x^ ne peut pas s'exprimer sous forme finie. Pour de petites valeurs de x^ on la calculera approximativement en la développant en série. Comme

if - — — —

Cette série est convergente pour toutes les valeurs de œ\ elle converge très rapidement quand x est inférieur à i.

On a construit des Tables, pour le calcul de cette intégrale, de la façon suivante. Nous démontrons plus loin que l'intégrale

/ e~ '^ dx

est égale à - y/T:. On considère alors la fonction positive

0(^0 = ~ e-^'dx,