COS
u du
L'intégrale ainsi obtenue ne peut pas être calculée sous forme finie à l'aide des fonctions élémentaires algébriques, exponentielles et logarithmiques, circulaires directes ou inverses. C'est un cas particulier des intégrales elliptiques. On la calculera par les méthodes d'approximation que nous donnerons plus tard; on pourrait aussi la calculer en la développant en série procédant suivant les puissances de e-.
Faisons le calcul pour le quadrant d'ellipse AB; il faut intégrer
de o à -. On a donc, en appelant / le périmètre de l'ellipse,
-, V 1 — ^'^ cos-u du.
Comme £-cos-« est moindre que i, on peut développer
QUELQUES METHODES D INTEGRATION. 201
yi — £- cos- u par la formule du binôme
(i — £2 cos^a)"^ = 1 z- ces- w t'' cos* u
£6 COS6 U—. .. —i ^£2"COS2«M — ... .
En multipliant par a du et intégrant ternie à terme de o à -> on aura une série donnant - /. Pour avoir le terme o^énéral de cette
série, il faut calculer l'intégrale
du.
qui, d'après le calcul du n" 40, a pour valeur
r . 3 . 5 . . . f 2 /? — T ) TT
Le coefficient de s-" dans la série donnant - est donc
— Cl -— \n
OU, d'après la valeur de I,,, »
7rari.3.5...(2 7i — 3)"|2
On a donc enfin pour - la série
Calculons le rayon R d'une circonférence de même longueur que l'ellipse
il vient, en remplaçant / par sa valeur et calculant les coefficients numériques,
\ 4 ^'\ '^Jt) Ib3b4
On peut obtenir des valeurs approchées de R en fonction des
deux demi-axes a et b de la façon suivante.
Une première \aleur de R, approchée par défaut, est -(a -h b).
En effet
b = \/ a - — c- = <2 ( I — £- ) - ; développant par la formule du binôme, on a
V 9. 8 ib 1-28
n en conclut la \aleur suivante de que nous écrivons en
réduisant les coefficients numériques aux mêmes dénominateurs que dans le développement de R :
__ „ a (1 — - c- — — .♦ — — ." — y^jT^ £ — . . . J .
On voit que — ^ — est une valeur approchée de R par défaut et
que la différence R — est de l'ordre des''.
Une deuxième valeur de R, approchée également par défaut, mais un peu moins, est sjab. En eflet, h étant égal à a\l \ — £-, on a
sJab = ai\ —t^)^ = a(\— - z- — 777 £^ r-. ô*^ rT^TT-* — • •.• •
'^ \ 4 64 ub ibJ84 / .
En combinant ces deux formules donnant — — el\/ab, on
obtient, d'après M. Roussinesq, une valeur de R approchée par excès. On a, en effet.
3 rt -h A 1 1 1 1
expression qui ne diffère de R que par le terme en z'^.
1^1. Intégrale elliptique E(cp, /,). — Nous avons trouvé, dans le numéro précédent, que l'arc d'ellipse A\I est donné par
=: a I \/ 1 — i- eus- Ll
du.
QUELQUES METHODES I) INTEGRATION.
Donc l'arc BM, compté à partir du sommet du petit axe, est
^jy
arc BM = a / J \ — e'-cos-udu.
En faisant u = - — '^, du = - ch^ et remarquant que les limites de cp sont o et o, on a, après avoir interverti les limites,
arcBM
al \/ 1 — £"- sin'^ç <^cp.
On pose habituellement, d'après Legëndre,
k étant un nombre positif plus petit que i. Avec cette notation
arc Bi\l ^= a\l{o, i).
L'intégrale E(ç, k) est une intégrale elliptique qui a été étudiée par Legendre. Sa valeur dépend de deux nombres cp et k. Gomme k est moindre que i, on peut poser
k 3= sinO.
On appelle o l'amplitude, A' le module, 9 Tangie du module.
On trouvera dans les Tables de Houël (p. 58) les valeurs de E(cp, A) et de son logarithme, pour les valeurs successives des angles cp et G exprimées en parties du quadrant, de dixième en dixième de quadrant.
Ces Tables pourront donc servir à la rectification de Fellipse.
12^. Autre exemple d'intégrale elliptique. Pendule simple. Intégrale elliptique de première espèce F (cp, A). — Imaginons un pendule simple de longueur OM == / oscillant dans le vide entre les deux positions extrêmes OA et OB, symétriques par rapport à la verticale OMo et faisant avec la verticale l'angle a. Soit A l'angle gOM que fait le pendule avec la verticale à l'instant t. On démontre, en Mécanique rationnelle, qu'on a
r- = zn v/2( cos A — cosa ).
g dt V V , . ;
Remplaçons cosa et cosA respectivement par i — 2 sin^ - et
— 2 sin^ - , nous aurons
1/ sin2 sin2-
ù nous prenons le signe -|-, ce qui revient à supposer que le
Fig. 60.
pendule monte. En intégrant et comptant le temps à partir de l'instant où le mobile est en Mo, on a
^sin
2 sin'-
G'cst encore là une intégrale elliptique. Elle se ramène facilement à la forme que Legendre a nommée intégrale elliptique de première espèce. Faisons un changement de variable en posant
o désignant, une nouvelle variable qui part de zéro avec A et qui devient égale à - pour A = a. En posant, pour abréger.
sin - = /c,
on a
QUELQUES METHODES D INTEGRATION.
3in-=A-sino, - = arc sin(A- sino),
Donc
d - = ' — ^^— > 4 / sin2 - — sin2 - =: A- cos 9.
•2 /i — /r2sin2o V ■■* '-^
V ' c/ 0 \/i — /c-siii-cp
C'est là l'intégrale ellipticpe de première espèce, désignée par l.egendre par la notation
La quantité k est le module, es l'amplitude. On trouve dans les Tables de Houël (p. 58) les valeurs de cette intégrale : dans ces Tables, on a posé
et l'on a calculé les valeurs de F(cp, /) et de son logarithme pour les valeurs des deux, angles C5 et 9 de dixième en dixième de quadrant. Dans le mouvement du pendule simple, B est égal à la moitié de l'anole d'écart maximum, 6 = -•
Durée d'une oscillation du pendule. Développement en série suivant les puissances du sinus du demi-angle d^écart maximum. — Nous avons trouvé plus haut l'expression du temps ^ que met le pendule à s'écarter de la verticale d'un angle A. Pour avoir la durée T d'une oscillat,ion simple, il suffit de doubler le temps que met A à acquérir la valeur a.
On a donc
Cette intégrale F f -, / j est ce que Legendre appelle intégrale complète de première espèce. On la désigne ordinairement par K :
do
\J I — A2 sin-*
206 CHAPITRE VII. — QUELQUES MÉTHODES d'iNTÉGR VTION.
On a, avec cette notation,
l^oiir calculer K, nous allons le développer en une série procédant suis ant les puissances de Â' = sin - j comme nous avons fait
pour développer la longueur d'une ellipse en série procédant suiant les puissances de l'excentricité.
Ecrivons
K= / ( I — /t2 sin^cp) ^ do
et développons, par la formule du binôme, la quantité sous le signe d'intégration
A-2«sin2"o.
(i — /i^sin^cû) -^ = 1 -I- > : r-!^
Ad 2 . 4 . b . . . 2 Ai n = l
Nous aurons à calculer les intégrales (n° 40)
Donc enfin
