Propriétés générales. — Soit une fonction F(/) connue

dans un intervalle (a, h) :

On peut toujours, pour simplifier, ramener cet intervalle à être — t: et H-t: en faisant le changement de variable

•in d'où l'on tire

it— h — a '' '

On voit, en efiet, que pour t^^ a^ x^= — t: et pour ^ = ^, ./• = tz. Nous poserons

La fonction /(^) est alors connue dans l'intervalle de — tt à -f-Tt.

Si cette fonction f{x) est finie et continue dans V intervalle de — Tc à -+- Tc, on peut toujours^ pour toutes les valeurs de x prises dans cet intervalle

la développer en une série convergente de la forme

(') /(^) = «oH-«i ces 37 4- bi sina:--}- «gcosia: H- b,sin2X -h. . . -+- ci„ cosnûc -hbnS>\nnx -+- . . , ,

2o8 CHAPITRE VlII.

les coefficients ^o, <^i, b^, «2, ^o, ..., a„, Z?,;, ... étant dse constantes convenablement choisies.

Ce développement n'est plus valable pour les valeurs limites — t: et -}-tt: de x. Pour ces deux valeurs limites, la série prend la même valeur

On démontre que la somme de cette dernière série n'est égale ni ày ( — t:), ni ày (-j-t:), mais à la moyenne arithmétique

On démontre également que la série, obtenue en intégrant terme à terme une série telle que (i), est convergente et que la nouvelle série a pour somme une fonction primitive de/(.r) dans le même intervalle de — -iz à + tt.

Mais on ne peut pas affirmer que la série obtenue en différentiant terme à terme une série telle que (i) soit convergente. Nous ne démontrerons pas toutes ces propositions; nous nous contenterons de quelques indications.

124. Détermination des coefficients. — La détermination des coefficients du développement (i) repose sur les faits suivants :

i^ Si m el n sont deux entiers positifs différents, on a

cosmx cosnx dx =^ o^ 1 s\n m a: sinn x dx ^= o .

En effet, on a identiquement

cosmx cosnx = - [cos(m — n)x -{- cos(m + n)x], sin nix s,innx = - [cos(/;'/ — n)x —cos{?n H- n)x].

Les intégrales indéfinies sont donc

I Tsinfm — n)x ^ sin (m -f- n)x~\ '2 L '^^ — '^ " m -H n \ '

elles s'annulent évidemment aux deux limites.

DÉVELOPPEMENT d'lNE FONCTION EN SÉRIE TRIGONOMETRIQUE. 209

1^ Supposons maintcnanl m = /i, et considérons les deux inlé- ^rales

/ coi^'iix dx^ j s'in-nxdx.

Deux cas sont à distinguer suivant que n est différent de zéro ou éf^al à zéro.

A. n ^ o. Les deux intégrales sont égales à -. En effet,