I -4- cos>. ^a^ . , i^ — cos'iAia

Les deux intésrales indéfinies sont donc

4 Al

Le sinus s'annule aux limites; chacune des intégrales définies est donc

B. Si n = o, la première intégrale devient

dx = *2 7r,

et la deuxième devient nulle.

3" Quels que soient les entiers positifs ni et /i, qu'ils soient ditférents ou non, on a

/ 'i\x\inx ç.Q'snx dx =. O.

En effet, on a

^ sln /?ia; cosn:r = - [sin (//i -+- n)a7 + sin (m — ai):p].

Si m — n n'est pas nul, l'intégrale indéfinie est

I rcos(m H- /i).?; cos(/?î — n)x'\ 1 L m -^ n m — n J '

l'intégrale indéfinie prenant les mêmes valeurs pour ;r = — t et :r = TT, Fintégrale définie est nulle.

APPKLL. — Klcinents d'Analyse. — st. i't

2IO ClIAPlTUi: Mil.

Si 7)i --z=z 7z, on a

SI 11 nx co?>nx = - siii inx.

et l'intégrale entre les limites — - et -f-T: est encore nulle. Ceci posé, prenons le développemenl supposé

(i) f (x) = ao-\- ai co?,x ^ ù[ ?,\nx ^r- a.2 cos>.x -^ b^sin'ix ~\-. . . -h a,i cos nx -f- ù,i sin /i.r -h ... .

Pour déterminer a,{, n > o, multiplions les deux membi'es pajcosnx dx et intégrons de — t: à -f-'^- Nous avons, dans le premier membre.

I fi'V) cosnx dx.

Dans le deuxième membre, nous avons une somme d'intégrale qui sont toutes nulles, d'après les remarques précédentes, excepti celle qui multiplie a,t. On a donc

X dx.

I J (^' ) cos nx dx = a,i 1 cos- n

Le coefficient de a„ élai^l t: :

a,i= — I f(x) cos 71 X dx.

De même, pour avoir b,i^ on multiplie par sin/i:r dx et l'on intègre de— 7:à-|-Tc. Toutes les intégrales du deuxième membre sont nulles, sauf celle qui contient b,i^ et l'on a

/ f(x)s\nnxdx=ib,i 1 sïn'^nxdx;

«y 7: d^ Ti

<l'oùj comme le coefficient de ù„ est 7:,

b,i= — j f{x)s\nnxdx.

Nous avons ainsi tous les coefficients a,, a^-, • • • , bi-, bj, .... 11 reste à calculer a,,. Pour cela, on multiplie par dx les deux membres du développement et l'on intègre de — ira 4- t:. Toutes