DEVELOPPEMENT DUNE FONCTION EN SERIE TRIGONOMETRIQUE

les Intégrales du second membre sont nulles, sauf celle qui contienl <7o, et l'on a

«0= — : / J{T)dx.

,0n voit que «o ^'^^ 1^» valeur moyenne de la fonction /(j^) dans l'intervalle de — tt à +Tr; cin et hn sont les doubles des valeurs moyennes de/(^) cos/i^ elf{x) s\nnx dans le même intervalle.

On peut dire que le développement en série trigonométrique d'une fonction f {x) dans un intervalle — t. à -\--îz est connu, quand on connaît la valeur jnoyenne de la fonction f[x) et des produits f[x) cosnx^ f{x) slnnx dans cet intervalle.

Nous admettrons que le développement ainsi obtenu représente bien/(^), entre les limites — iz- et +7^, ce développement est égal à

aux deux limites tï et — t:. La démonstration de ces propositions nous entraînerait en dehors du cadre que nous nous sommes tracé.

l!2o. Application. — Soit, à développer la fonction

entre les limites — tï et -f-Tz.

Résumons les valeurs des coefficients «07 <^7?? ^«5 trouvées plus haut :

«0= — / f{oo)dx, (i) {^ a,i= — I f(x)co?,nxdx

b,i= - I f(x)smnxdx

Actuellement

(/l = I, 2, . . ., GO ).

dx = o.

•212 CIIAPITRK yill.

car rintégrale indéfinie — prend les mêmes valeurs aux deux limites.

En général on aura

an= — I - cosnx dx =■ o.

En effet, la fonction sous le signe /