COS 71 X

est impaire ; elle change de signe avec x. Dans l'intégrale définie

de — - à -h Tî, la difî'érentielle - cos/ix dx prend donc des valeurs

deux à deux égales et dé signes contraires, et la somme de ces \aleurs est nulle.

Calculons maintenant

bn= — I —sinnxdx, ( ai = i, 2, . . . , x ).

INous intégrerons par parties en faisant

X cosnx u = —j ç = •

2 II

l'intégrale peut alors s'écrire

1 u dv =^ \ uv [^1^^ — / V

La dernière intégrale est nulle. La partie intégrée donne

dit^

c'est-à-dire

cosnx H / cos nxax

cos/it: = cos( — niz) = (— i)".

Telle est l'intégrale qui ligure dans bn- Pour avoir ù,iy il faut la diviser par t: ; donc

On — — •

DÉVELOPPEMENT d'UNE FONCTION EN SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE. 2I3

Faisant n^=\^ 2, . . . , on a

d\)ù le développement demandé

(3) —=s'\ncc sin2x -h - sin Sa? — ... ( — 7T<a7<r).

Ce développement représente la fonction - entre les limites

— T et -j-t:. Aux limites, il ne représente plus la fonction, car la série s'annule pour .r = ziz tt. La somme de la série est alors

égale à

qui est bien o dans le cas actuel, car

Représentation graphique. — Construisons la courbe définie par l'équation

(4) y-=^^\x\x sm'2a7 -f- - sinSa? — . . .

ou, pour abréger,

cp(^) désignant la fonction définie par la somme de la série

cp(a7)= sino:- si 11237+ -sinJa: — ....

On a évidemment

d'après les propriétés élémentaires du sinus. Marquons alors, sur O^, les points {fig. 61)

A, Al, A2, ...,

d abscisses

2l4 CHAPITRE VIII.

et les points symétriques

d'ab

scisses

t:, — ot:, — :;)7r,

Si l'on connaît la courbe entre les ordonnées des points A' et A^ on la connaît pour toutes les valeurs de x, car la relation

montre que l'ordonnée est la même aux points correspondants de tous les segments . . . , A' A, AA, , A, A2, .... C'est là un fait ana-

Fig. 61.

logue à celui qui se présente pour la sinusoïde, dont il suffit (Favoir tracé une ondulation entre — t: et H- t:, pour pouvoir construire toute la courbe en transportant le long de 0.27 la même ondulation.

Construisons donc la courbe donnée, entre les ordonnées des points A' et A, c'est-à-dire pour x compris entre — t: et H-t:.

Dans cet intervalle, la somme de la série" est égale à '—) et l'ordonnée y de la courbe est identique à l'ordonnée

du segment de droite B'B, passant par O et ayant pour coefficient

angulaire -• La courbe est donc formée de ce segment de droite

entre tes limites — 7: et -\-~^ c'est-à-dire entre les droites A'B' et AB. Quand x est égal à - — £, s étant positif et très petit, Fordonnée de la courbe est égale à celle de la droite, quelque petit (pic soit £ ; mais ])oiir

DEVELOPPEMENT D UNE FONCTION EN SERIE TRIGONOMETRIQUE. 2l5

l'ordonnée de la droite csl - = AB et celle de la courbe est o. Il v

a donc, dans la courbe, une discontinuité pour ^ =: tï. De même, |)oiir X voisin de — -n

lOt'donnée de la courbe est éi;ale à celle de la droite B B ; niais pour

l'ordonnée de la droite est A'B', celle de la courbe o. En résumé, dans rintervalle de — tt à H-t, la courbe

se confond avec le se^^nient de droite B'B, mais elle s'en sépare brusquement aux limites. Elle se compose de tous les points de la (hoite B'B situés entre' les extrémités^ mais les points obtenus pour x^z^T. ne sont [)as les extrémités B' et B; ce sont les points A' et A.

La fonction

'lant ainsi représentée graphiquement dans l'intervalle — ^ t:, -{-t:, 1 suffit, pour avoir la représentation graphique de cette fonction ians tout intervalle, de reproduire périodiquement le même tracé 'utre les points AAj, Aj Ao, . . . , A'A'j, A'j A'^, . . . , comme le montre

la figure 6i. La courbe

se compose donc d'une infinité de segments de droite égaux et parallèles ..., B'B, BBj, BfB^, ..., et des points ..., A', A, V,, Ao, . . . , les extrémités de ces segments n'appartenant pas à la (■oiirl)e et devant être remplacées parles points . . . , A', A, Aj, . . . . On voit bien, par cette discussioi^ détaillée, comment la série

li'ouvée représente la fonction - entre les limites — tz et -(- ~.

Remarque. — L'exemple que nous venons de traiter nous montre que l'on ne peut pas toujours différencier les séries trigonométriques.

En effet, si l'on prenait les dciisées des divers termes de la

2l6 CHAPITRE VIII.

série (3), on aiirail la série

cosa^ — C0S1X -+■ cos3x — ...,

qui est manifestement divergente, car le terme général cosiix ne lend pas vers zéro.

lî26. Autre exemple. — Développement de -7-* — On pourra appliquer, de même, la méthode générale au développement de — • Les intégrales donnant les coefficients se calculeront facilement à l'aide de l'intégration par parties.

Mais nous pouvons déduire ce développement de celui de - :

oc I 1

( j ) — =: si n .r sin 2 .r -{- - s i n 3 :r — . . . ,

en admettant que, pour intégrer une série trigonométrique, il suffit d'intégrer terme à terme. On a ainsi, en intégrant les deux membres de (3) et désignant par Œq une constante d'intégration,

— = «0 — cos^ H — - cos2^ — cos3.r -t-. . . ,

où il reste à déterminer «0- Pour cela, d'après la méthode générale, on multiplie les deux membres par dx et l'on intègre de — 7: à + t:. On a alors, puisque toutes les intégrales du deuxième membre sont nulles, sauf la première.

— = 2-ao, «0 =

(5) — = cosa^H COSIX — — cosJa:- H-. . .,

Actuellement, la fonction développée en série est, entre — 7:

et -1-7:,

La série est égale k f{x)^ entre les limites — 77 et -f- t:. Aux limites, la série prend la valeur