I. — L'ELEMENT DIFFERENTIEL DEVIENT INFINI

127. L'élément différentiel devient infini pour l'une des limites. Quand on a défini l'intégrale

) dx,

on a supposé que la fonction f{x) restait finie, pour toutes les valeurs de x comprise entre a et b ou égales à a ou à ^. L'intégrale représente alors l'aire du segment de la courbe

entre les ordonnées d'abscisses a el b.

Supposons que /(^) reste finie pour x ^= a et pour x compris entre a et b^ mais devienne infinie pour x =^ b. Pour fixer les idées, nous admettrons que la limite supérieure b est plus grande que a, et que/(:r) devienne infinie en conservant un signe constant^ le signe -f- par exemple. La courbe

a alors pour asymptote la droite BB' d'abscisse 6, comme le montre la figure ()3. Nous supposons que l'ordonnée AA' a pour abscisse a. Pour voir si l'on peut attribuer un sens à l'intégrale I, on procède comme il suit. Au lieu d'intégrer àe a k b^ on intègre de a à un nombre plus petit que Z>, mais très voisin de b, c'est-à-dire de a

INTEGRALES DEFINIES. 219

à ^ ^ c^ £ étant un nombre positif irès petit. On a alors l'intégrale

J = / f{x)dx,

qui a un sens parfaitement défini ; si M' M est l'ordonnée ayant pour abscisse b — £, cette intégrale mesure l'aire du segment AA'M'M.

Fig. 63.

On fait ensuite tendre z vers zéro, c'est-à-dire tendre le point M vers le point B.

()iiand £ est très petit, l'ordonnée

est très grande, et, quand s tend vers zéro, l'intégrale J, c'est-à-dire l'aire AA'M'M, va évidemment en augmentant. Deux cas peuvent alors se présenter :

' 1*^ Quand z tend vers zéro, l'intégrale J tend vers une limite : cette limite est, par définition^ ce qu'on appelle la valeur de V intégrale

f'fi^

) dx.

Dans ce cas. Taire co-mprise entre l'ordonnée AA', la courbe et l'asymptote BB' est finie.

2*^ ( )uand £ tend vers zéro, l'intésrale J auamente indéfiniment.

On dit alors qu(î l'intégrale

( X ) dx

est infinie. I.'aire comprise entre la courbe, l'ordonnée AA et l'asymptote est infinie.

220 CHAPITRK IX.

Exemples. — Soit d'abord

y/6 — X voyons si l'intégrale

r' dx

est finie ou non. Pour cela, calculons d'abord

v/6 — X positif et très petit. L'intégrale indéfinie étant

— 2 y/6 — x^ on a

Quand £ tend vers zéro, J tend vers i ^ b — a. L'intégrale proposée a donc un sens et Ton a

r'^ = ,,/îz:77.

./„ y/6 — X Soit maintenant

{b-xY INous allons voir que l'intégrale

r^ dx est infinie. En efTet, calculons d'abord

1 (b-.rf-

L'intéerale indéfinie étant ; , on a

e 6 — a expression qui devient infinie quand i tend vers zéro.

r^' dx

128. Cas particulier où l'intégrale est de la forme / -^— — — •

— Soit n un nombre positif, entier ou fractionnaire ; considérons rintégrale définie

dont Félément différentiel devient infini pour x =^b. Nous allons montrer que celte intégrale est finie quand az < i, infinie quand n>i.

En effet, supposons d'abord n différent de i, et calculons l'intégrale .

j f'-' dx "J,, {b-x)-'

où £ est positif et très petit. L'élément différentiel pouvant s'écrire

l'intégrale indéfinie est

(b — xy-'i

I — n et l'intégrale définie

Si n < I, I — n est positif, s est élevé à une puissance positive, et, quand z tend vers zéro, J tend vers la limité

ib~ay-'^ J — n

L'intégrale proposée est alors égale à cette limite.

Si /z ,>- 1 , I — n est négatif, z est élevé à une puissance négative-, et, quand z tend vers zéro, J augmente indéfiniment. L'intégrale proposée est alors infinie.

Nous avons réservé le cas de /z = i . On a alors

car l'intégrale indéfinie est — L [b — x). Quand z tend vers zéro, J augmente indéfiniment ; l'intégrale proposée est donc infinie pour n =z \.

l!29. Intégrales comparables aux précédentes. — Soit une inté Taie

f f{^)doc,

où f{oc) est finie quand x est égal à a ou compris enlre a et h, mais augmente indéfiniment par valeurs positives quand x tend vers b.

Considérons le produit

OÙ n est un nombre positif . Quand :i? tend vers 6, ce produitprend la forme o x oo. Supposons que l'on puisse déterminer l'exposant /? de telle façon que le produit

{b—x)nf{x)

tende vers une limite / quand x tend vers b. Alors, on peut énoncer la règle suivante : 1° Si, pour une certaine valeur de ii moindre que i, le produit

(^b-xYf{x)

a une limite /, l'intégrale proposée esijinie;

2^ Si, pour une certaine valeur de 7i supérieure ou égale à i , le produit

{h-X)nf{x) ■

a une limite / différente de zéro, l'intégrale proposée est infinie.

Premier cas. — Supposons d'abord qu'il existe un nombre n ndre que i, tel que le produit

moi

{b-xYf{x)

tende vers une limite /, limite qui peut d'ailleurs être nulle, quand X tend vers b. Dans ces conditions, il est évident que ce produit est très voisin de / quand x est très voisin de b. Partageons alors l'intervalle d'intégration (a, b) en deux parties, l'une de a à c cl l'autre de c à ^, c étant plus petit que 6, mais très voisin de b.

L'intégrale I s'écrit

I = f f{x)clx-^ i f(x)dx.

La première intégrale, prise entre les limites a et c, est finie. Il reste à montrer que l'autre intégrale est aussi finie. En effet, le produit

{b-xrf{x)

fendant vers /, si Ton appelle M un nombre positif fixe supérieur à cette limite /, il est évident que, x étant très voisin de />, le pr(^duit (b — x)"f{x)., qui est très voisin de /, est inférieur à M. On peut donc choisir c assez voisin de b pour que, x étant compris entre c et b, on ait

{b — xy^f{x)<m,

Mais on a alors (n'' 37)

f(x)c/x<. I —. —dx.

Comme M est constant, on peut le faire sortir du signe d'intégration, et l'on a, dans le deuxième membre, l'intégrale

r" dx

J (b — xy'

<|ui est finie, car n <l\ . L'intégrale du premier membre / J{x) d^

étant moindre qu'une quantité finie esl finie. Donc, dans ce cas, {n <l i) l'intégrale proposée est finie.

Deuxième cas. — Supposons maintenant qu'il existe un nombre n supérieur ou égal à i, tel que le produit

tende vers une limite / différente de zéro., cpiand x tend vers b. On pourra écrire, comme plus haut,

\= j f{x)dx-^J f{x)dx,

c étant moindre que b. mais très rapproché de b. La première inté- <;;rale est finie ; nous allons montrer que la deuxième est infinie. Soit m un nombre positif moindre que /,

Quand x est très voisin de b^ le produit

{b-xy^f(x)

est très voisin de / et, par suite, supérieur à m. On peut donc prendre c assez voisin de b pour que, dans tout l'intervalle (c, b)y

on ait

{b — xy^f(x)>jn,

On a alors

{b-xy

j:'r">-'>.f"^0if-

Or l'intégrale du deuxième membre est infinie^ car /i ^ i ; celle du premier membre est donc également infinie. Dans ce cas, l'intégrale proposée est infinie.

Remarque . — Nous avons supposé, pour fixer les. idées^ que/(^) devient infinie en restant positive, quand x tend vers b. Les mêmes conclusions s'appliquent au cas où /(^) devient infinie en restant négative quand x tend vers b. En effet, dans cette dernière hypothèse, la courbe

s'éloigne à l'infini pour x ^=^b au-dessous de l'axe Ox. Il suffirait donc de changer le sens de Oy pour être ramené au cas précédent.

130. L'élément différentiel devient infini pour la limite inférieure. — Nous avons supposé que l'élément différentiel j\x) devient iniini quand x est égal à la limite supérieure b. Les mêmes conclusions subsisteraient évidemment si ./(■^) de\enait infinie (juand X est égal à la limite inférieure a. Il suffirait, pour ramener ce cas à celui qui a été traité en détail, de changer le sens de 1 axe O x dans le tracé de la courbe jk =/(^^)-

INTEGRALES DEFINIES. 22D

Pour voir si rinté*yrale

OÙ

/(a) = oc, a un sens (b'^a)^ on considérera le produit

dans lequel on fera tendre x vers a.

S^û existe un nombre positif /?, plus petit que i, tel que ce produit ait une limite, l'intégrale est finie.

S'il existe un nombre 7i égal ou supérieur à i , tel que ce produit ait une limite différente de zéro ^ l'intégrale est infinie.