III. Soit l'intégrale

dx

OÙ l'élément différentiel devient infini pour x =^i. En écrivant ^ I i

on voit immédiatement que le produit

tend ^ers - pour x = i. Cette limite étant différente de zéro, et

l'exposant n égal à i, l'intégrale est infinie.

Pour se rendre compte de ce résultat, on peut dire que, dans le

voisinage de :r = i , la fonction dcN ient infinie comme -

1 \ C cJx . , ^

et que son intégrale se comporte comme - / ? intégrale qu

devient infinie ])our x =^\. .

1\ . Soll f intégrale

\ix

INTEGRALES DEFINIES. " 1%"}

La fonction

est nulle pour :r = o, carL,^: = — oo; elle est finie tant que x va de o à i; elle devient infinie négative quand x tend vers i. Le produit à considérer est ici

pour x^=^\ . Faisons ^ = i — x\ nous aurons à étudier le rapport

([uand X tend vers zéro par valeurs positives. Or, x étant moindre (pie I , on a

m voit donc que, si l'on prend /i = i , le rapport devient

IH h -7^ H-. . .

et qu'il tend vers — i pour x' =^ o. Donc le produit

tend vers — i quand x tend vers i. Cette limke élanl dij/e?'enti le zéro et l'exposant 7i égal à i, l'intégrale est infinie.

\ . Soit enfin

où Télémenl diflerentiel

r' dx

fix) =

devient infini pour r = -• Écrivons

sin3( — — x] \2/ /

nous voyons que le produit

tend vers i quand x tend vers -• Ici l'exposant n est égal à 3; il est supérieur à i et le produit tend vers la limite i différente

de zéro. L'intégrale est infinie,

Pour se rendre compte de ce résultat, on peut dire^que, dans le

voisinaere de -> la fonction — r— devient infinie comme —

^ 2 cos^a: /tt y

et que son intégrale se comporte comme

dx

qui est infinie pour ^=: -

132. L'élément différentiel ^devient infini entre les limites.

Soit une intégrale

l=Jf{x)dx,

où l'élément différentiel devient infini pour une valeur c comprise entre les limites. Il faudra alors considérer séparément les deux

intégrales

/ f{^)dx, j f{x)dx,

dans chacune desquelles l'élément différentiel devient infini pour une limite ^ = c. Pour que l'intégrale proposée ait un sens, il faut que chacune de ces intégrales en ait un, et, alors, l'intégrale proposée est,/>a/- définition^ égale à la somme de ces intégrales :

\=J f(x)dx-^Jf{x)dx.

Exemples. — I. Considérons l'intégrale

' ' dx

dans laquelle l'élément différentiel devient infini pour x = o. Construisons la courbe {fig- 64)

Fig. 64.

+1 oc-

elle a deux branches infinies asymptotes k O y. On considérera, séparément, les deux intégrales

' dx

Ces deux intégrales ont un sens, car elles sont de la forme

dx

où n a la valeur-? moindre que i. L'intégrale indéfinie est, pour

chacune d'elles.

et l'intégrale définie est 3. Géométriquement, cela veut dire que Faire comprise entre la branche de gauche et l'axe Ç)y est égale à 3 ; l'aire symétrique également. L'intégrale proposée est alors égale à (3 ; elle donne l'aire totale.

" IL Soit l'intégrale

La courbe

f dx

a une forme analogue à la précédente {fig- 64). Mais ici les deux intégrales

so/it infinies toutes les deax^ comme on le vérifie immédiatement, et V intégrale proposée n^a pas de sens. Chacune des deux aires à droite et à gauche de l'asymptote est infinie.

Il serait absurde d'appliquer à une intégrale de ce genre les règles qui ont été établies pour le cas où la fonction à intégrer est finie dans l'intervalle d'intégration. Ainsi, pour cette intéiirale

il serait absurde de prendre l'intégrale indéfinie — - et de dire que l'intégrale définie est égale à la difTérence des valeurs de

aux deux limites,'! c'est-à-dire à — 2. Cette règle, établie pour calculer les intégrales définies, suppose en efl'et essentiellement que la fonction à intégrer reste finie entre les limites, ce qui n'a pas lieu ic

133. L'élément différentiel devient infini aux deux limites. Ce cas se ramène aux précédents. Soit une intégrale

f{x)dx,

où/\x) devient infinie aux limites a et 6, et reste finie entre les limites. Soit c un nombre (pielconque compris entre a et b. On considérera les deux intégrales

/ ./{^)dx^ j f{x)dx,

dans chacune desquelles l'élément différentiel devient infini pour une limite. Pour que l'intégrale proposée ait un sens, il faut que chacune de ces deux intégrales ait un sens et alors la proposée est, par définition^ égale à leur somme.

INTKGllALES DEFINIKS.

Exemple. — Soit a<C ^i; l'intégrale

dx

A un sens. La courbe

v/(^-a)([i-a:) Fiir. 65.

présente deux asymptotes d'abscisses a et f>. Si l'on appelle v un nombre intermédiaire, on considère les deux intégrales

dx

dx

/(> — a)(^— .r) Ces deux intégrales ont cliacune un sens ; car les produits

tendent vers des limites pour x=^ a et x = ^3.

L'intégrale proposée a donc un sens; elle représente l'aire comprise entre la courbe, les deux asymptotes et l'axe Ox. Poujla calculer, il suffit d'employer les formules du n*^ 112 qui donnent

13 i. L'élément différentiel devient infini aux limites et pour des valeurs intermédiaires. — Soit l'intégrale

1=^ f f{x)dx,

()ii/(x) devient inlinie, pour./ -:=a, x-=^b^ et des valeurs inter-

232 CHAPITUK IX.

niédiaires :27 = a, :r = [3, jc = y- Supposons a<a<[3<Y<^.

On considérera les intégrales (J) / f{x)dx, I f{x)dx, I f(x)dx, I f{x)dx

Pour que l'intégrale proposée ait un sens, il faut cpe chacune de ces intégrales, traitée par la méthode du numéro précédent, en ait un. L'intégrale proposée est alors, par définition^ la somme des intégrales (J).