Cas où l'équation n'est pas résolue. — Soit
l'équation d'une courbe non résolue par rapport î\ y. En égalant à zéro la dérivée par rapport à x de la fonction ¥ {x, y), où )' est regardé comme une fonction de x^ on a
d'où
dx Fy
L'équation de la tangente au point {x^ y) devient alors, si l'on
y remplace -f- par cette valeur
dy dx
(X-^)F:,-^(Y-JK)F;. = o.
Points singuliers. — Il peut arriver, exceptionnellement, qu'en un point {x^ y) de la courbe les dérivées partielles F'^. et F^. soient nulles:
L'équation précédente de la tangente devient une identité; on dit que ces points particuliers sont des points singuliers.
Ce sont ordinairement des points où plusieurs branches de courbe se croisent et où, par suite, il existe plusieurs tangentes.
Exemple. — Prenons Féquation d'une courbe algébrique dans laquelle les termes de moindre degré sont du deuxième degré :
Ax^-i- iBxy -+- GjK-H- cp3(^, j) + . . .-4- o,i{x, y) = o,
où A, B, G désignent des constantes, '^-^{x^ y) l'ensemble des termes homogènes du troisième degré en x et jk, 'o,i{x, y) l'ensemble des termes homogènes de degré n en x et >'. L'origine ^ = o^ )/zzro est un point de la courbe, mais les dérivées partielles du premier membre de l'équation s'annulant pour ^ = o, rz=o, l'origine est un point singulier. Pour trouver les tangentes en ce
Fig. 70.
if
point, nous procéderons comme il suit. Coupons la courbe par une sécante {/ig. 70)
y = nix^
passant par O. L'équation aux x des points de rencontre s'obtient en remplaçant 1' par mx dans l'équation de la courbe. On a ainsi une équation qui, quel que soit m, admet la racine double ^ = 0.
Les aiilres points d'interseclion ont pour abscisses les racines de léquation
A ^- > j) m + G m^ H- x Ça ( I , m ) 4-
Ainsi, toute sécante passant par O coupe la courbe en deux points confondus avec O : on dit que ce point est un point double de la courbe. Pour que la sécante OM devienne tangente en O, il faut déterminer le coefficient angulaire m de façon qu'un nouveau point M d'intersection vienne se confondre avec O, c'esl-à-dire que l'équation (i) ait une nouvelle racine nulle. Pour cela, il faut et il suffit que m soit une racine de l'équation
On peut donc mener au point O à la courbe deux tangentes qui sont réelles et distinctes, ou confondues, ou imaginaires, suivant que l'équation en m a ses racines réelles et distiactes, ou égales,
ou imaginaires. En y remplaçant m par — et chassant le dénominateur, on obtient une équation liomogène du deuxième degré représentant l'ensemble de ces deux tangentes :
Cette équation s'obtient en égalant à zéro l'ensemble des termes •de moindre degré dans l'équation de la courbe.
Fis. 71.
Quand les tangentes en O sont imaginaires
ir— AG<o,
il ny a pas de points réels appartenant à la courbe dans le voisinage de O : ce point s'appelle alors un point isolé de la courbe,
Tel serail le cas de la courbe
pour laquelle l'origine est un point isolé (fi^^''- 71).
142. Cas où les coordonnées x et y d'un point de la courbe sont fonctions d'un paramètre u. — Si l'on a, le long d'une courbe,
^ = ?("): y = '\'{iO^
on en déduit
dx = o' {u ) du, dy = -V ( a ) du,
et l'équation de la tangente devient
Y- iL(«)
[X-ç(îO].
143. Cosinus directeurs de la tangente. — Soit s Tare de courbe AM compté positivement dans le sens AM, à partir d'une origine A prise sur la courbe {fig- 72). Menons la tangente Mf
Fi£
Ma
Ai'
dans le sens positif AM et appelons 1 Fangle de M/ avec Ox. Nous allons démontrer les formules
dx — ds coso-, dy = ds siiia.
Pour cela, considérons un point voisin M, de la courbe obtenu -en faisant croître s d'une quantité positive A.ç. Les coordonnées x et y de M subissent des accroissements MQ = A^, (JM, = Ay, et le triangle QMM, donne
A.r = co rd e M M 1 cos ( M M , , Ox), Aj = corde MMi sin(MMi, Oo;),
OÙ (MM,, Oic) est l'angle de MM, avec Ox. Divisons ces deux
relations par A5, et faisons tendre A.v vers zéro en remarquant
cordeMMi , 1, , iKifiCîr ^r^ \ 1
que tend vers i, et que 1 angle (MM,, Ux) tend vers t^
nous aurons
dx dy
— — = cosa, -7- = sina,
ds ds
Ce sont les formules à démontrer. On peut facilement les retenir en remarquant qu'elles expriment que les projections d'un élément d'arc ds sur les deux axes sont dx et dy\
144. Position de la courbe par rapport à la tangente. — Prenons, sur la coui^be, un point M, voisin du point de contact M de la tangente M^ : soient x -\- h l'abscisse et
jKi=/(:r-h/i)
l'ordonnée de ce point. Soient, d'autre part {fig. 72), M2 le point de la tangente ayant même abscisse x -\- h que M, el y-i l'ordonnée de ce point M2. Cette ordonnée est fournie par l'équation de la tangente, où Ton fait X = .rH- A,
yi = y-^y'xfh
ou encore
Si l'on développe l'ordonnée j-, de la courbe par la fbrmule de Taylor, on a
•Ji=/(^)+Y/'(^)+^/'(^) + ..--
On remarquera que l'ordonnée >'2 de la tangente s'obtient en limitant le développement de l'ordonnée y^ de la courbe à ses deux premiers termes.
Pour avoir la position de la courbe par rapport à la tangente, formons la différence r< — y^ '•
Supposons d'abord, ce qui est le cas général, que f"{x) n'est pas nulle au point M. Alors, Ji étant pris pour infiniment petit
principal, la différence v'i — ;)'2 est infinimenl pelile du deuxième ordre. Quant au signe de /i .l'^? ^1 est, pour li infiniment petit, le même que celui àe f" [x), car la parenthèse a évidemment le signe def"{x) quand /i tend vers zéro.
Si doncy"'^(^) est positif, j', — )'o est positif, quel que soit le signe de h; aux environs du point M, la courbe est au-dessus de la tangente; elle tourne, en M, sa concavité vers lesjK positifs.
Si/"(:r) est négatif, }', — ) ., est négatif, quel que soit le signe de A; aux environs du point M, la courbe est au-dessous de la tangente; elle tourne, en M, sa concavité vers les y négatifs.
Pour obtenir les points d'intersection de la tangente avec la courbe, il faut chercher les valeurs de h pour lesquelles la différence y, — y. 2 est nulle. On a ainsi l'équation
o=-\f{oo
qui admet la racine double h = o. C'est ce qu'on exprime en disant que la tangente coupe la courbe en deux points confondus avec le |)oint de contact.
Points d'inflexion. — Supposons maintenant qu'au point M on ait
f"'{x) étant différent de zéro. On a, dans ce cas,
yi-yi = -^[f"(^)+\f-{^)-^...\-
La différence j-, — y2 est alors infiniment petite du troisième ordre, quand h est pris pour infiniment petit principal. Le signe
Fig. 73.
ce
de la parenthèse étant celui de/"'(^) pour li suffisamment petit, on voit que j, — JK27 contenant h^ en facteur, change de signe
avec h. La courbe est donc, à gauche de M, d'un coté de la tangente, à droite de M, de l'autre côté. La tangente M^ traverse la courbe {flg. ^S); le point M est appelé point dHnjlexlon. La tangente en ce point a trois points communs confondus avec la courbe, car l'équation donnant les valeurs de ]i qui correspondent aux points de rencontre de la tangente avec la courbe
contient, actuellement, li^ en facteur et admet la racine triple /i = o. Si/'"(:r) était nul en même temps que/''(^), /" (.r) étant différent de zéro, la courbe serait, aux environs de M, d'un même côté de la tangente, mais cette tangente aurait, avec la courbe, quatre points communs confondus en M.
14o. Ordre de contact de deux courbes. — Considérons deux
courbes planes i^fig- 7!)
ayant un point commun M de coordonnées x et r. Soient y, et T'o
Fi g. 74.
les ordonnées M, P, et MoP, des deux courbes correspondant à une abscisse
h étant infiniment petit. On a Formons la différence
yx—f'i
des deux ordonnées et déveloj)pons-la suivant les puissances de h par la formule de Tajlor. Comme cette différence s'annule pour
TANGENTE A UNE COURBE PLANE. a53
//= o, elle contiendra une certaine puissance de h en facteur et sera de la forme
où cLq est différent de zéro. On dit alors que les coui^bes ont au point M un contact d'ordre n — i .
D'après les développements àe y^ et de y^ par la formule de Tajlor
yçi = 'h(x)-h - ^'(x)^. . .-] ■ <!/(«' (^) H- . ..,
pour que les deux courbes aient, au point d'abscisse donnée x^ un contact d'ordre (71 — i)^ il faut et il suffît que, dans la ditïerence j'i — JK25 on puisse mettre A" en facteur : on a ainsi les n conditions
Donc pour gu^il y ait au point cV abscisse x^ entre les deux courbes^ un contact d^ ordre (n — 1), il faut et il suffit que les ordonnées des deux courbes et leurs dérivées juscju^à l'ordre (n — i) inclus soient égales en ce point.
Si l'on cherche les valeurs de Ji donnant les points communs aux deux courbes, il faut déterminer h de façon que M, coïncide avec Mo, c'est-à-dire quejKi — ya = o. On a ainsi l'équation
o = A«(ao-i- aih -{- a.2h^-h. . .),
qui admet la racine nulle d'ordre n, h = o. On peut dire alors que les courbes ont 7i points communs confondus en M.
L'ordre de contact des deux courbes au point commun M est donc égal au nombre de points d'intersection confondus en M, diminué d'une unité.
Ainsi, en un point ordinaire, une courbe et sa tangente ont un contact du premier ordre (deux points d'intersection confondus). En un point d'inflexion, une courbe et sa tangente ont un contact du deux'ième ordre (trois points d'intersection confondus).
Position relative de deux courbes au voisinage du point de contact. — Si les courbes ont un contact d'ordre impair., elles ne se traversent pas au point de contact; si elles ont un contact d'ordre pair., elles se traversent au point de contact.
En effet, on peut toujours déterminer un nombre positif z assez petit pour que, h variant de — ^ c à -f-s, le |signe de j^t — y-, soit celui du premier terme «q^^" ^^ l'expression (i ). Alors si le contact est d'ordre impair, n est pair et y 4 — y. 2 conserve le même signe quand h varie de — s à +£ : les courbes ne se traversent pas; c'est le cas de la tangente et d'une courbe en un point ordinaire (^n = 2). Si, au contraire, le contact est d'ordre pair, n est impair elyi — y2 change de signe quand // variant de — £ à -j- s passe par zéro : les courbes se traversent; c'est le cas d'une courbe et d'une tangente d'inflexion (n = 3).
146. Sous-tangente, tangente, sous-normale, normale. — Soient M(œ^ y) un point d'une courbe, MT la tangente limitée à l'axe O^,
Fi!
MN la normale limitée au même axe et AM l'ordonnée du point M La sous-tangente St est le segment TA. L'équation de la tan-
gente étant
"^ ~y=yi'^ — ^),
on aura l'abscisse du point T en faisant 1 =0, ce qui donne
L'abscisse de A étant ^, la sous-tangente est ^ — X.; donc ^ y dx
La tangente t est la longueur MT; le triangle rectangle MAT
donne immédiatement, (raprès la valeur précédente de TA,
= yi/ i-\
sj dx''- -\- dy°^
l.a sous-normale 8,^ est le segment AN. L'équation de la normale étant
on a, en faisant Y = o, l'abscisse X du point N : d'où la valeur K — X de la sous-normale
La normale n est la longueur MN. Le triangle rectangle MAN donne
/ r \/dx'^ -+- dy'^
n=ysJi-\-y^ = y -^
147. Courbe aux tangentes égales (tractrice). — Cherchons une courbe plane dans laquelle la longueur TM de la tangente {^fig> 70) soit constante. Supposons la courbe du côté des y positifs; appelons a la longueur constante TM et u l'angle :r TM : le triangle ATM (fie' 7"^) ^^onne immédiatement
(2) y z= a sin u.
D'autre part, le coefiîcient angulaire de la tangente étant tang m,
on a
dy . dy
-j- = tan g M, dx = — - — , dx tangif
et en remplaçant dy par sa valeur tirée de (2)
sin u
dx = a — : du
en remplaçant ces- u par i — sin^ u^ on a
dx = ai —. sin u ] du.
\s\nu j
L'intégration donne
X — ^0= a\V, tang h cosw j.
Les coordonnées d'un p(nnt de la courbe sont ainsi exprimées en fonction d'un paramètre n.
Construisons celle des courbes qu'on obtient en faisant Xq^=o
X = ai h lang h cos u],,
y =^ a sin«.
Pour que tang - soit positif, il faut faire varier w de o à t:.
Fig. 7^-
Deux valeurs supplémentaires de u donnent deux points de la courbe symétriques par rapport à l'axe Oy. En effet, soient x^ et y, les valeurs des coordonnées correspondant à la valeur
On a
Mais
Donc
Xi=- a\L tang / — j 4- cos(7r — u)\
yi= asin(7: — ^0-
.tanj
= col— =
u tang-
cos(t: — u) = — cosa, sin(T: — u) = sin u.
xi=z—x, yi = y-
Faisons alors varier u de o à -• Pour t/ = o, :r = — ce, y = o;
la courbe est asymptote à ()x. Quand u augmente, ^ et ^
dx dy • • 1^ "
augmentent, car -r- et -;- sont |)ositives. rour i^==-, x =^ o ^ ' du du ^ 2
et y z= a : au point A ainsi obtenu, la tangente se confond avec l'axe des y. La courbe s'achève par symétrie par rapport à Oy*
TANGENTE A UNE COURBE PLANE. ^Sj
Rectification de la courbe. — Appelons 5 l'arc de courbe compté à painir du point de rebroussement A dans le sens AM,. On a
ds = \/ dx"^ -h dy^.
Remplaçant dx et dy par leurs valeurs (12) et (1 3), on a, après
réduction,
, cosu ,
as = — a — du,
sin u
OÙ il faut mettre le siene — , car u est en Mi supérieur à - et -7-
^ ' ^ '2 dic
positif.
D'où, en intégrant,
s = — a L sin u,
sans ajouter de constante, car s, étant compté à partir du point A^ doit s'annuler pour u = ~i ce qui a lieu, puisque L i = o.
