II. — MAXIMUM ET MINIMUM D'UNE FONCTION D^UNE VARIABLE

148. Règle. — Nous rappelons rapidement la règle qui permet de trouver les maxima et les minima d'une fonction

d'une variable r, pour préparer la méthode géométrique que nous, emploierons plus loin, au sujet des maxima et des minima des fonctions de deux variables.

Si une fonction f(x) qui admet une dérivée continue est maximum ou minimum pour x =: a, la dérivée /'(a) est nulle, car la tangente au point correspondant de la courbe représentative est horizontale.

Pour distinguer le maximum du minimum, on peut donner une règle fondée sur le signe de/'!(a), quand cette quantité n'est pas nulle. En effet, en un maxiniuin tel que C {fig'. 77), la tangente est horizontale, f {a) z= o, et la courbe tourne sa concai^ité vers les y néf^atifs : donc/"(rt) << o.

Au contraire, en un minimum tel que D, la tangente est

. Appell. — F.lcmcnts d'Analyse. — st. 17

horizontale, /'(a) = o, mais la courbe tourne sa concavité vers les y positifs; donc f" {a ) > o.

Donc 5i, /'(a) étant nulle ^ f\a) est négative^ la fonction est maximum pour ,2^ = a; si, f {a) étant nulle^ / (^) est positive^ la fonction est minimum pour x ^= a.

Nous n'examinerons pas en détail les cas où f {a) et f" {et) seraient nulles en même temps. La considération du développement de

suivant les puissances de A, par la formule de Tajlor, conduit à la règle suivante :

Pour que la fonction f{x) soit maximuQi ou minimum, pour X = a, il faut et il suffît que la première dérivée qui ne s'annule pas pour x =^ a soit d'ordre pair. La fonction est maximum ou minimum suivant que cette dérivée prend, pour^ = «, une valeur négative ou positive.