Équation de l'enveloppe. — Soit
l'équation d'une courbe plane C contenant un paramètre a. Quand a varie d'une manière continue, cette courbe se déplace d'une manière continue. On dit qu'elle admet une enveloppe. quand il existe une courbe E à laquelle les courbes G sont toutes tangentes. Les courbes C s(jnt les enveloppées.
Soient {fig. 78) M.[x^ y) un des points de l'enveloppe et
l'équation de l'enveloppée C qui louche Tenveloppe E en ce point.
Le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppée est donné par
(i) f^dx^f'ydy^o,
où dx et dy sont les projections d'un élément d'arc MM' de l'enveloppée.
Pour avoir le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppe au même point, remarquons que, le long de l'enveloppe, les coordonnées X Ql y du point de contact M sont fonctions de X :
car le point de contact M est déterminé quand A est donné. Ces fonctions de X vérifient identiquement la relation
Quand on fait croître À de sa.difTérentielle «iX, le point de contact passe de M en M, sur l'enveloppe et ses coordonnées croissent de leurs difTérentielles d^x et d^y\ comme /(^, j-, "X) est nulle, sa différentielle l'est également; on a donc
(2) f'xdxX-^f'ydxy^f'\d\=o.
Géométriquement, d^x^ d^y sont les projections d'un élément d'arc MM, de l'enveloppe E. Le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppe en M étant égal à celui de la tangente à l'enveloppée,
on doit avoir
dx d\x
Les équations (i) et (2) donnent alors
Donc les coordonnées du point de contact M vérifient les deux relations
(3) f{x,y,\) = o, fl = o.
En éliminant X entre ces deux équations, on a l'équation de l'enveloppe E, quand cette enveloppe existe.
Réciproquement, soit E la courbe dont l'équation est obtenue
en éliminant X entre les deux relations (3); en tout point x,y de
cette courbe, qui n'est pas un point singulier de l'enveloppée
correspondante G, la tangente est la même à E et à G. En effet,
comme au point considéré, /{ = o, les équations ( i ) et ( 2 ) donnant
les coefficients angulaires des tangentes aux deux courbes G et E
au point x, y sont
f'xdx -^f'ydy =0,
f'xdiX-t-f'ydxy = o,
si f'^ et f'y. ne sont pas nulles à la fois, c'est-à-dire si le point {x^ y) n'est pas un point singulier de l'enveloppée /(a?, y, \) = o, on a
dy ^ ^ijK.
dx dyx'
ce qui démontre le théorème.
En résumé, la courbe obtenue en éliminant \ entre les deux relations (3) est, ou bien l'enveloppe des courbes
ou le lieu de leurs points singuliers.
Remarque. — Eliminer X entre les deux équations
revient à exprimer (jue l'équation y"(x, j', X) = o, en X, admet une racine double.
150. Le point de contact de l'enveloppée C avec l'enveloppe E est la limite d'un des points d'intersection de C avec une enveloppée G' infiniment voisine. — En effet, l'équation de G est
celle d'une enveloppée voisine G'
(C) /(^,jr, X + AX)=o.
Les points d'intersection de ces deux courbes sont donnés par le système des deux équations (G) et (C), ou par le système équivalent
Quand Aà tend vers zéro, ce système devient précisément le système (^3) qui définit les points de contact de l'enveloppée avec l'enveloppe E. Le théorème est donc démontré.
loi. Exemple I. — Enveloppe d'un cercle de rayon constant R dont le centre décrit une courbe donnée. — Soient a et b les coordonnées du centre P du cercle {fig'. 79); ce point
Fis. -70.
devant décrire une courbe donnée HH', a et b sont des fonctions données d'un paramètre \ :
a=.cp(X), b = 'i^i\). . . .
L'équation du cercle mobile est alors
(4) (a;^ay + (y-bf-K^=o,
R étant constant. Pour avoir les points de contact M et M' du
•l&'l CHAPITRE X.
cercle avec l'enveloppe, il faut associer à Féquation du cercle réquation ol^tenuc en dérivant par rapport à X
Si, dans cette équation, on regarde x et y comme des coordonnées courantes, elle représente une droite passant par le point P(a, b) et normale à la courbe HH' lieu du point P. Les points de contact du cercle avec l'enveloppe sont donc aux extrémités du diamètre MPM' normal à la courbe lieu des centres. Les points de l'enveloppe s'obtiennent encore en portant sur la normale en P deux longueurs égales à R
