PM = PM'=R

Les courbes ainsi obtenues s'appellent courbes parallèles à la courbe donnée HH' : les tangentes à ces courbes en M et M' étant tangentes au cercle sont normales au diamètre MPM' et, par suite, parallèles à la tangente en P à la courbe donnée HH'.

Géométriquement^ si P' est une position du centre voisine nie P, les points communs aux deux cercles de centre P et P' et de même rayon sont sur la. perpendiculaire à PP' en son milieu. Quand P' tend vers P, PP' devient tangent à la courbe HH^ et la perpendiculaire au milieu de PP' devient la normale en P à cette courbe. Les points de contact du cercle avec son enveloppe sont donc sur cette normale, comme nous Fa montré le calcul.

lo2. Exemple II. — Dans l'exemple précédent, nous avons trouvé une véritable enveloppe. 11 peut se faire, comme nous l'avons dit, que la règle indiquée fournisse des lieux de points singuliers. En voici un exemple élémentaire. Soit à trouver l'enveloppe des courbes

D'après la règle, il faut éliminer K entre cette équation et la dérivée par rapport à \

L'élimination est immédiate et donne comme enveloppe

COURBURE d'une COURBE PLANE. ^63

équation qui se décompose en

et qui représente Taxe O i', avec les deux parallèles AA' et BB', à l'unité de distance de cet axe. Construisons les courbes G. Nous ons que leur équation se déduit de celle de la courbe

en changeant y qw y — A. Les courbes G s'obtiennent donc en faisant glisser la courbe (6) parallèlement à elle-même le long de Oy. Gette courbe (6) a la forme indiquée {fig- 80), avec un

point double à l'origine O et deux sommets en A et B. Quand on la déplace le long de O/, elle a bien pour enveloppe les droites AA' et BB' ; mais elle n'a pas pour enveloppe l'axe 0/ trouvé dans le calcul. Get axe est le lieu des points doubles des enveloppées.

COURBURE DES COURBES PLANES

153. Courbure d'un cercle. — D'après l'idée vulgaire de courbure, un cercle a une courbure d'autant plus grande qu'il s'éloigne plus rapidement d'une de ses tangentes, c'est-à-dire que son rayon est plus petit. En précisant cette notion, on convient d'appeler courbure d'un cercle de rayon R l'inverse du rayon

On peut, comme il suit, évaluer la courbure d'un cercle dont on connaît seidement un arc MM'. Menons les tangentes ^l^etM'^' au cercle, aux extrémités M et M' de l'arc considéré, dans un même sens de circulation sur le cercle, et appelons e Tangle de

>is. 8i.

ces deux tangentes. Cet angle étant égal à l'angle au centre MOM',

on a {fi g. 8i)

arc MM' = R£,

ÏÏ "" arc M AI' '

formule qui donne la courbure du cercle.

loi. Courbure moyenne d'un arc de courbe. Courbure en un point. — On étend les notions précédentes à une courbe plane quelconque de la façon suivante :

Soient {fig- 82) MM' un arc d'une courljc plane, M^ cl Al'/' les tangentes menées, aux extrémités de cet arc, dans un niéme sens

Fis. 82.