CT + A C

de circulation sur la courbe; désignons par t l'angle de ces deux tangentes, que Ton nomme Vangle de contingence. On appelle courbure moyenne de l'arc MM' le rapport

arc M M'

COUBBURR D UNE COLItlJI'] PLANE. 205

Quand le point M' se rapproche du point Al, ce rap])ort varie.

On appelle courbure au point M la limile vers laquelle tend la 04Durbure moyenne de l'arc MM', quand le point xM' tend vers le point M :

Courbure en JM = liin rrr,'

arciMiVJ

On désigne cette courbure par —, et l'on convient d'appeler R

le rayon de courbure de la courbe au point M. Ainsi, le rayon de courbure en un point est inverse de la courbure en ce point :

^ ,. arcMM'

Centre de courbure en un point d^ une courbe; cercle de courbure ou cercle osculateur. — J.e centre de courbure G d'une courbe en un point M est le point obtenu en portant, sur la normale, dans la concavité de la courbe, une longueur MG égale au rayon de courbure R au point M (voir fig. 82).

Le cercle de courbure ou cercle osculateur en M est le cercle décrit du centre de courbure G comme centre, avec le rayon de courbure R comme rayon. Ge cercle est tangent à la courbe en M; nous verrons plus loin qu'en général il traverse la courl^e au point M et que de tous les cercles passant par AI, c'est celui qui se rapproche le plus de la courbe, au voisinage du point M.

loo. Expression du rayon de courbure en coordonnées rectangulaires. — Soit une courbe plane, sur lac[uelle nous prendrons une origine O' des arcs s. Désignons par cr l'angle de la tangente M t à la courbe avec une direction fixe Ox (voir flg. 82). Quand le point M se déplace en M', l'arc O'M augmente de l'arc MAr= A.s', et l'angle g- augmente de Acr. L'angle s des tangentes Isit et M'/' est égal à la valeur absolue de Ao-. On a donc, pour la courbure moyenne de l'arc MAL, l'expression

£ Aa

arcMiM' ~ ~" Â7'

où il faut choisir le signe de façon à avoir un résultat positif. La

courbure — au point M est alors donnée par la formule

H arc M M' \s

(3r la limite de -r^ est -p-; on a donc

I <ia ÏÏ ~ ~ ^'

où le si<;ne doit être choisi de façon que — soit positif.

En désignant les coordonnées d'un point M de la courbe par x et y, on a

dv

d'où

dv

a = arc tang-f^ ^dx

et

dx d^y — dy d'^x'

drr —

dx^ dx d'^y — dv d"^ x

wj

D'autre part :

ds = \/dx'^ -^dy^-={ dx-^ + dy"*- y^ ;

donc

I ^drs ^ dx d'^y — dy d^ x K~'~' ds~ — „ , „l

{dx^-^dy^Y

Supposons que les coordonnées d'un point de la courbe soient exprimées en fonction d'un paramètre u par les formules

on aura, en prenant u comme variable indépendante,

dx z=. f (^u) du^ dy=o'(u)du^

d'-x=f"{u) diC^ , d'^y = cp" ( u ) du"- ;

Si l'on suppose l'équation de la courbe résolue par rapport à y^ et si l'on prend x comme variable indépendante, on a, en dési-

COURHURE d'une COURBE PLANE. 267

gnant parj' ely" les dérivées première et deuxième de y par rapport à 57,

dy = y dx, d-y — y" dx-, d^x =■ o\

et, par suite,

Dans toutes ces formules, il faut prendre le signe de telle façon que R soit positif. Par exemple, dans la dernière formule, il faudra prendre le signe H- si y" est positif, c'est-à-dire si la courbe en M tourne sa concavité vers les y positifs; il faudra prendre le signe — dans le cas contraire.

En un point d'inflexion, jk''= o? le rayon de courbure est infini : le cercle osculateur se confond avec la tang^ente. .

Convention sur le signe du rayon de courbure. — Si Ton convient de considérer le rayon de courbure en M comme positif ou comme négatif sui^ ant que la concavité au point M est tournée vers les j' positifs ou vers lesj^ négatifs, on a dans tous les cas

156. Rayon de courbure d'une conique. — Considérons une (ionique rapportée à un axe O^ et à la tangente au sommet Oj. L'équation de la courbe est de la forme

(i) y^ =:^ 'ipx -^ qx'^\

p est \e paramètre de la conique; le genre de la conique dépend du signe de q :

Si ^ < o, la courbe est une ellipse; Si çr > o, * » lyperbole ;

Si ^ = o, » parabole.

Appelons ii la longueur de fia normale MIN du point M à l'axe de symétrie O^; nous allons montrer que le rayon de courbure en M est

En effet, on a (n° 146)

et, par suite, pour une courbe quelconque,

Si nous supposons r positif en M, y" y est négatif, et l'on a

Appliquons cette formule aux coniques. En différentiant deux fois l'équation (i"), on obtient

yy'= p -\-qx,

remplaçant dans la deuxième équation y' par sa valeur tirée de la première

y^y"=qy^—{p-^q^T--

Remplaçons dans le deuxième membre y- par sa valeur (i) et réduisons, il vient

d'où, en substituant dans la valeur de — »

Ce rayon peut donc être construit graphiquement, à l'aide de deux quatrièmes proportionnelles.

Application aux sommels cVuiïe ellipse. — Soit une ellipse de sommets A, A' et B, B'. Glierclions les rayons de courbure aux sommets. Le grand axe étant pris pour axe des x et la tangente au sommet A' pour axe des j', l'équation de la courbe est

Donc

COURBURE d'une COURBE PLANE.

D'autre part, la longueur n de la normale MIN est

Co

m me

yy' = p -\- qx,

on voit que, au point k! {^x = o, j = o), on a

' iyy')o = p

et

Alors

Ra = — =: r> = — (sommets A et A ). p'~ CL

Aux sommets B et B', la normale MIN a pour longueur b] le rayon de courbure est donc

R' = — z=. —- (sommets B et B). /)■' b

Pour construire les centres de courbure correspondants, on trace le rectangle formé par les tangentes aux quatre sommets {fig- 83)^

Fi-. 83.

et, du sommet E de ce rectangle, on abaisse une perpendiculaire sur la droite AB; les points G et D où cette perpendiculaire coupe les axes sont les centres de courbure relatifs aux sommets A et B. En effet, les triangles semblables AEC^et AEB donnent

AC

AG = - = Ro.

iJO CHAPITRE X.

De nK'iiie, les triangles semblables BDE et BAE donnent

Ces points étant construits, on peut tracer les cercles osculateurs à Fellipse aux quatre sommets et en conclure un tracé approximatif de la courbe qui se rapproche beaucoup de ces cercles au voisinage des sommets.

En A et A', les cercles osculateurs sont intérieurs à l'ellipse; en B et B', c'est Fellipse qui est intérieure aux cercles osculateurs.