V. — ETUDE D UNE COURBE PLANE DANS LE VOISINAGE D'UN POINT

158. Développement de l'ordonnée en série. — Soit () un point quelconque de la courbe : prenons ce point pour origine, pour

Fig

\ Co

se

axe O^ la tangente, pour axe O >" la normale du côté de la concavité de la courbe {fig. 84).

Soit

l'équation de la courbe. En supposant x suffisamment petit, ow pourra, si l'origine n'est pas un point singulier de la courbe,

développer j/ en série par la formule de Mac-Laurin

Cette série sera convergente dans un intervalle symétrique par rapport à zéro et représentera, par suite, un arc de la courbe compris entre deux ordonnées placées symétriquement par rapport à Oy.

Comme la courbe passe par l'origine, /(o) = 0; et, comme la courbe est tangente à Ox^ le coefficient angulaire f'{x) de la tangente est nul au point O : / '(o) = o.

Cherchons le rayon de courbure à l'origine. On a, en général^

Actuellement, on a

A l'origine, x = o, y s'annule et y" devient égal à/"(o). On a donc, en appelant R^ le rayon de courbure à l'origine,

On peut alors écrire le développement (i) de j', en y remplaçant/(o) et /'(o) par zéro,/"(o) par la valeur ci-dessus :

où a, b, . . . sont des coefficients constants.

Cette formule (2) va nous permetlre d'établir divers théorèmes.

159. Le centre de courbure, en un point d'une courbe plane, est la limite du point de rencontra de la normale en ce point et de la normale infiniment voisine. — Démontrons le théorème pour le point O. Le centre de courl)ure enO est, par définition, le point Cq obtenu en portant sur la normale Oj)', dans le sens de la concavité^ une longueur OCy égale à Ro (/i^- 84).

COURBURR d'une COURBE PLANE. 2-3

Soit M un point voisin de O. La normale, en ce point, a pour équation

et le point A, où elle coupe la normale Oj'( X = o), a pour ordonnée

Remplaçons la dérivée y' par sa valeur tirée du développement (2); il vient

— — t- 3 a cc' -i- . . .

ou, en simplifiant.