Prenons encore pour exemple
développant, on a
X=z x^ — 5 fl' .r' -H 6 a* ;
substituant x-hh k x ely' k y ^ et ordonnant ensuite par rapport à A, il vient
y z::zx^ -— 5fl'x'-f-6a* + {^x^ — \oa^x)h 4- (6a;» — 5«')A'-f-4«A3^ AS
donc
passant à la limite, on a
et en multipliant par da:, on trouve que la différentielle est
djr =: (/\ûi^ — I o a' ^) d a:.
9. L'expression dx est elle-même la différentielle de x: car soit y = x, on a y' = ar -f- A ; donc y — y = /î, et
par conséquent . = i- Comme la quantité h n'entre
pas dans le second membre dé cette équation , on voit que
pour passer à la limite il suffit de changer - — - — - en -p »
dy ce qui donne — = i ; donc, dans notre hypothèse, d^ = dx.
tl«37
10. On #ouvera de même que la différentielle de ax est adx] mais si l'on avait j^ ==ax-|- i, on obtiendrait encore adjcpour la différentielle. D'où il suit qu'une constante b qui n'est point affectée de x, ne donne aucun terme à la différentiation, ou, autrement dit, n'a point de différentielle.
On peut d'ailleurs considérer que si l'on a j' = é, c'est le cas où a est nul dans l'équation j^ = ax 4- i, et où par
conséquent, -p = a se réduisant à -p = o, il n'y a ni li-
mite ni différentielle.
H. Il est à observer que quelquefois l'accroi sèment de la variable est négatif 5 dans ce cas, il faut substituer x — h à a:, et opérer comme précédemment.
DIFFÉIlEnTIATION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 7
Ainsi, pour trouver la diQ'éreniielle de ax^ lorsque raccroissement est négatif, on remplacerai? par x — /^, et
Ton aura
y = a,v^ — 3 ax^ // -h 3 axh^ — nk^ ;
; — = — 3 ax^ 4- 3 ax/i — ah^ :
passant à la limite, on aura t^ = — Zax^^ et par conséquent ày=: — 3 ax* àx.
On voit que cela revient à supposer Ax négatif dans la différentielle dey calculée dans Thypothèse d'un accroissement positif.
12. Avant que d'aller plus loin, faisons une remarque essentielle, c'est que dans une équation dont le second membre est une fonction de x, et que pour cette raison nous représenterons généralement par yz=zfx^ si Ton change a: en .r 4- A , et qu'après avoir ordonné par rapport aux puissances de A, on trouve le développement suivant :
on doit toujours avoir j^ = A. En effet, si l'on fait A = o, le second membre se réduit à A; à Fégard du premier membre , comme nous n'avons accentué y que pour marquer que y éprouvait un certain changement lorsque x devenait x -H A , il faudra , lorsque h sera nul , que nous supprimions l'accent de j^, et l'équation (2) se réduira alors à
13. Ceci va nous donner les moyens de généraliser le procédé de la différentiaiion. En effet, si dans l'équation
j=fxy dans laquelle on est censé connaître l'expression représentée partit:, on a mis x-i-h à la place de a:, et qu'après avoir ordonné par rapport aux puissances de /i,
OU ait pu obicnîr le développeraeiil suivant :
/ = A + B A 4- C A' 4- DA» + . . . y ou plutôt, d'après l'arlicle précédent ,
on aura
/— j^=:B/i4-CA'-h... ;
. . dr et, en passant à la limite, j- = B. Ce qui nous apprend
que le coefficient différentiel est égal au coefficient du terme qui contient la première puissance de h dans le développement de y (x-f- A) ordonné par rapport aux puissances ascendantes de /i.
14. Si, au lieu d'une foQClion y qui change d'état en vertu de raccroissement donné à la variable x qu'elle renferme, on a deux fonctions j^ et z de cette même variable x, et que l'on sache trouver en particulier les différentielles de chacune de ces fonctions , il sera facile, par la démonstration suivante, d'en conclure la différentielle du produit zy de ces fonctions. En effet, si Ton substitue x-\-h à la place de x dans y et dans z , on obtiendra deux développements qui , étant ordonnés par rapport aux puissancesde A, pourront être représentés ainsi :
(5) /=jH-AA4-BA»-f-...,
(6) ' 3' = z-HAVi + B'A'-l-..-.^
passant à la limite, on trouvera
/ X dr ^ dz ^,
' ax d jc
multipliant les équations (5) et (6) l'une par l'autre, nous
DIFFÉRENTIATION DES QUANTITÏSS ALGÉBRIQUES. 9
obtiendrons
«'y = zj -h A z/i -h B «A» -h . . .
-f-A'//*-*- AA'A'-t-...
donc
^jL'Z^y = Az -t- A'j 4- (Bz H- AA' -f- B'j^) A -f- ... ;
passant à la limite, et indiquant par au point Texpressioii qui doit être différentiée, on obtiendra
mettant au lieu de A et de Â' leurs valeurs données par les équations (7), il viendra
d.zj zdj^ jdz
àx àx àx
et en supprimant le diviseur commun do:,
d . z^ = zd/ -h jd z.
Ainsi, pour trouver ^a différentielle d'un produit de deux variables, il faut multiplier chacune par la différentielle de Vautre y et ajouter les produits,
\ 5. Au moyen de cette règle , on trouvera facilement la différentielle d'un produit de trois variables.
Soit, par exemple, y <2w : faisons j^z = ?, nous aurons donc d .yzu =. à,tu.
Or, d'après ce qui précède,
(8) d./w = /da -f-adf;
et puisque i =yz, on a àt=^yàz -{- zdij : mettant donc ces valeurs de t et de àt dans l'équation (8), elle se changera en à.yzu =yzdu -+• uydz -H uzdy.
On voit que la même règle subsiste encore pour un produit de trois variables, c'est-à-dire ç^' il faut écrire le pro^
lO CALCUL DIFFÉRE^NTIEL.
duit yzu, et r^eniplacer successivement chaque variable par sa différentielle y et ajouter ces produits.
La même règle a lieu pour un plus grand nombre de variables.
