En substituant d'abord h-i-î k h dans
/x + ph -h çh^-h' -f on aura
(i54) fx-\^p[h H- ,) 4. 17 (A H- 0' -4- r(A -h 1)^ -h . . . ;
développant les termes en h de ces binômes, il nous viendra
Pour obtenir ensuite le résultat de la substitution de a: à X -h i, dans l'expression fx -h ph -^ qh* -h rh* H- . . . , observons que dans cette série , h étant en évidence , cet accroissement n'entre pas dans fx et dans les coefficients p^ 9, r, 5, etc., quantités qui ne pouvant donc renfermer que a:, en doivent être regardées comme des fonctions 5 et puisque Féquation (i53) a lieu pour toute fonction de Xy la substitution de j? + r à la place x changera
en ^ 4- pi
■ H- qi^ -h rP -f- si^ -\- . .
en p + p* ^
en q -^ q' ^
en r+ r^
en J H- y
Il n'est pas besoin de prévenir que par les lettres acren-
iy2 CALCUL DIFFÉRKKTIEL.
tuées nous représentons les coefficients des différentes puissances de i dans ces développements.
En substituant ces valeurs de fx^ de p, de q^ de r, de 5 , etc. , dans la suite fx -^-ph -h 7 A* -h rA* -h . . . , nous obtiendrons
fx-\- pi 4- qi^ ^ r*ï 4- . . .
247. Ce développement devant être identique (art. 24S) à celui qui est donné par Téquation (i55), il faut que les termes qui y contiennent les mêmes puissances de h soient égaux (Note VI) \ nous aurons donc
p+p'i -h p'^i\ . . =/»4- 291.. .; q -^ q' i -^-^ q" i^ . , , = qr + 3 W . . . ; r -4- / i '\-' r^' i^, , . = /• + 4 «* • • • .
Ce que nous disons de h pouvant s'appliquer à £, en égalant les termes affectés des mêmes puissances de 1 , on trouvera
(157) p'^^qy y'=3r, r'=4f, ...,
ce qui revient à égaler les termes affectés de Ai, de A'/, de A'i', etc. , des équations (i55) et (i56).
248. Nous avons vu (art. 246) quep était en général une fonction de x\ représentant donc p par^'x, et nommant y' je le terme qui multipliera A dans le développement dey (x H- A) ^ nommant de même y"' a: le coefficient de A dans le développement de /" (^-h-A), et ainsi de suite, nous aurons ces équations
f (x ~\- h)= /x + A/*' X 4- termes en h% en h^, . . .
/rQ\ ; f'{^'^f^)=^f'x-\- hf" X -f- termes en h% en h*, . . . (i5o) \
* /' (jc H- h) zzzf" x-\- hf'x 4- termes en h% en h^ . . .
