DE LA MÉTHODE DE LÀGRANGE

249. Par hypothèse, nous avons (art. 248) p^=^f*x\ donc , si dans cette équation on fait a: = a: + A, on aura

mettant dans cette équation la valeur de f (x -{' h)^ donnée par la seconde des «équations (i58), nous obtiendrons

p^p' h 4-/?" A» -f- . . . =/' X -f- hf* X + termes en h% en h%....

Cette équation ayant lieu, quel que soit A, il faut que les termes des mêmes puissances de h soient égaux ; donc

p'=rxi

cette valeur de jjf changera la première des équations (i57) en f" X = a ^ ^ d'où nous tirerons

Si dans cette équation nous changeons x en x + /z , il viendra

mettant à la place àef" [x H- h) son développement donné par la troisième des équations (i58) , nous aurons

q--{-q'h-{-q"h^-^...z=\(f"x-^hf''x'\-termesen\i\cnh\..A\

comparant les termes qui multiplient la première puissance de h , nous aurons cf '=^\f"' x^ valeur qui étant mise dans la seconde des équations ( i57) , la changera en \f"' h = 3r, d'où Ton tirera

r — 1 i. f^xr — s • 2'J *>

en continuant ainsi, nous trouverons successivement tous les autres coefficients de l'équation (i53) *, substituant dans cette équation les valeurs de ;>, de ^, de r, etc., nous aurons

{i6o)/{x-hh)=fx^h/'x^—rx+—rx-^.,..

174 CALCUL DlFFÉaESITlEL.

250. Si l'ou considjère maimenani la première des équations (i58), on verra que^^^jt: étant le coefficient de h dans le développement de f(x-^h) , est ce qu'on désigne p^r

d • Tx d V

—. — OU par -r- i de même, en considérant la seconde des

ax *■ ûx'

équations (i 58), on recounaitra que le coefficient ^^ jt de la première puissance de h , dans le développement de

y (x -+- A ) , doit être représenté par -^ — ? c'est-à-dire par

dx d"^ y . . j .

-T — = -r~î et ainsi de suite ^ par conséquent, en mettant

Cl X (1 X

ces valeurs de^ , de f x ^ de f" x , etc. , dans l'équation (160), on trouvera

/ /* X >./ ,v ^ dr , d'r A' d'r h^